(1) $x^2 - y^2 - 2x + 1$ を因数分解せよ。 (2) $x$ は実数、$a$ は実数の定数とする。$A = \{x | a \le x \le a+1\}$, $B = \{x | x < -3, 2 < x\}$ とする。$A \cap B = \emptyset$ であるような $a$ の値の範囲を求めよ。 (3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。$\tan \theta + \sqrt{3} = 0$ を満たす $\theta$ の値を求めよ。 (4) A, A, A, B, B, C, D の 7 文字を横一列に並べるとき、並べ方は全部で何通りか。また、3つの文字 A, A, A が連続し、かつ2つの文字 B, B も連続している並べ方は全部で何通りか。 (5) 10人の生徒が10点満点の数学の小テストを受けた結果、次の得点のデータが得られた。5, 6, 6, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 10 (点)。このデータの四分位範囲と分散を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $x^2 - y^2 - 2x + 1$ を因数分解せよ。

(2) $x$ は実数、$a$ は実数の定数とする。$A = \{x | a \le x \le a+1\}$, $B = \{x | x < -3, 2 < x\}$ とする。$A \cap B = \emptyset$ であるような $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。$\tan \theta + \sqrt{3} = 0$ を満たす $\theta$ の値を求めよ。

(4) A, A, A, B, B, C, D の 7 文字を横一列に並べるとき、並べ方は全部で何通りか。また、3つの文字 A, A, A が連続し、かつ2つの文字 B, B も連続している並べ方は全部で何通りか。

(5) 10人の生徒が10点満点の数学の小テストを受けた結果、次の得点のデータが得られた。5, 6, 6, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 10 (点)。このデータの四分位範囲と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 因数分解

$x^2 - y^2 - 2x + 1 = (x^2 - 2x + 1) - y^2 = (x - 1)^2 - y^2 = (x - 1 + y)(x - 1 - y) = (x+y-1)(x-y-1)$

(2) 集合

$A = \{x | a \le x \le a+1\}$ と $B = \{x | x < -3, 2 < x\}$ が $A \cap B = \emptyset$ を満たす条件を考える。

$A$ が $B$ と共通部分を持たないためには、以下のいずれかの条件を満たす必要がある。

i) $a+1 \le -3$ つまり $a \le -4$

ii) $a \ge 2$

したがって、$a \le -4$ または $a \ge 2$ が答え。

(3) 三角関数

$\tan \theta + \sqrt{3} = 0$ より、$\tan \theta = -\sqrt{3}$ である。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で $\tan \theta = -\sqrt{3}$ となるのは $\theta = 120^\circ$ のときである。

(4) 順列

7文字 A, A, A, B, B, C, D の並べ方は $\frac{7!}{3!2!1!1!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{2} = 420$ 通り。

AAAとBBをまとめて一つの文字と考えると、AAA, BB, C, Dの4つを並べることになる。この並べ方は $4! = 24$ 通り。

(5) 四分位範囲と分散

データは 5, 6, 6, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 10 である。

データの数は10個なので、中央値は5番目と6番目の平均値となり、$\frac{8+8}{2} = 8$ 。

第1四分位数は、下位半分の5個のデータの中央値なので6。

第3四分位数は、上位半分の5個のデータの中央値なので10。

したがって、四分位範囲は $10 - 6 = 4$。

平均値は $\frac{5+6+6+8+8+8+9+10+10+10}{10} = \frac{80}{10} = 8$。

分散は $\frac{1}{10} [(5-8)^2 + (6-8)^2 + (6-8)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (10-8)^2 + (10-8)^2 + (10-8)^2] = \frac{1}{10} (9 + 4 + 4 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 4 + 4) = \frac{30}{10} = 3$。

3. 最終的な答え

(1) $(x+y-1)(x-y-1)$

(2) $a \le -4$ または $a \ge 2$

(3) $\theta = 120^\circ$

(4) 並べ方は全部で420通り。AAAとBBが連続している並べ方は24通り。

(5) 四分位範囲は4点。分散は3。