与えられた漸化式を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。今回は、(2)の問題を解きます。 初期条件: $a_1 = 1$ 漸化式: $a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n + 4}$

1. 問題の内容

与えられた漸化式を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。今回は、(2)の問題を解きます。

初期条件: $a_1 = 1$

漸化式: $a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n + 4}$

2. 解き方の手順

(2)では、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおき換えることが指示されています。

漸化式の両辺の逆数をとると、

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{3a_n + 4}{a_n}$

$\frac{1}{a_{n+1}} = 3 + \frac{4}{a_n}$

ここで、$b_n = \frac{1}{a_n}$ を代入すると、

$b_{n+1} = 3 + 4b_n$

$b_{n+1} = 4b_n + 3$

この漸化式は、特性方程式 $x = 4x + 3$ より、$x = -1$ を得ます。

したがって、

$b_{n+1} + 1 = 4(b_n + 1)$

数列 $\{b_n + 1\}$ は、初項 $b_1 + 1 = \frac{1}{a_1} + 1 = 1 + 1 = 2$, 公比 $4$ の等比数列なので、

$b_n + 1 = 2 \cdot 4^{n-1}$

$b_n = 2 \cdot 4^{n-1} - 1$

$b_n = 2 \cdot (2^2)^{n-1} - 1$

$b_n = 2 \cdot 2^{2n-2} - 1$

$b_n = 2^{2n-1} - 1$

$a_n = \frac{1}{b_n}$ より、

$a_n = \frac{1}{2^{2n-1} - 1}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{1}{2^{2n-1} - 1}$