$a$を定数とする。2次方程式 $x^2 - 2(a-1)x - 4a = 0$ が $-3 \le x \le 1$ の範囲に異なる2つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。2次方程式 $x^2 - 2(a-1)x - 4a = 0$ が $-3 \le x \le 1$ の範囲に異なる2つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - 2(a-1)x - 4a$ とおく。この方程式が$-3 \le x \le 1$の範囲に異なる2つの実数解を持つための条件を考える。

2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D > 0$ が必要である。

$D = (-2(a-1))^2 - 4(1)(-4a) = 4(a^2 - 2a + 1) + 16a = 4(a^2 + 2a + 1) = 4(a+1)^2$

$D > 0$ となるためには、 $(a+1)^2 > 0$ であれば良いので、$a \neq -1$ である必要がある。

次に、2つの解が $-3 \le x \le 1$ の範囲にある必要がある。

$f(x) = 0$の解を$\alpha, \beta$とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2(a-1)$

$\alpha \beta = -4a$

軸の方程式は $x = a-1$ である。$-3 \le a-1 \le 1$ という条件が必要なので、 $-2 \le a \le 2$ である。

また、 $f(-3) > 0$ かつ $f(1) > 0$ である必要がある。

$f(-3) = (-3)^2 - 2(a-1)(-3) - 4a = 9 + 6(a-1) - 4a = 9 + 6a - 6 - 4a = 2a + 3 > 0$ より、$a > -\frac{3}{2}$

$f(1) = (1)^2 - 2(a-1)(1) - 4a = 1 - 2a + 2 - 4a = 3 - 6a > 0$ より、$a < \frac{1}{2}$

以上の条件をまとめると、

$a \neq -1$

$-2 \le a \le 2$

$a > -\frac{3}{2}$

$a < \frac{1}{2}$

したがって、$-\frac{3}{2} < a < \frac{1}{2}$ であり、$a \neq -1$ であるので、 $-\frac{3}{2} < a < -1$ または $-1 < a < \frac{1}{2}$ が解となる。

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{2} < a < -1$ または $-1 < a < \frac{1}{2}$