数列 $\{a_n\}$ は等差数列で、$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 35$ かつ $a_6 = 13$ である。数列 $\{b_n\}$ は、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - 2n$ で与えられる。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を求めよ。 (3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k$ を求めよ。 (4) $n$ は2以上の整数とする。数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項 $a_1, a_2, \dots, a_n$ と、数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項 $b_1, b_2, \dots, b_n$ で、$a_k$ の項の番号 $k$ と $b_l$ の項の番号 $l$ が異なるものどうしの積 $a_k b_l$ ($1 \le k \le n$, $1 \le l \le n$, $k \ne l$) の総和を $T_n$ とする。$T_n$ を $n$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は等差数列で、$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 35$ かつ $a_6 = 13$ である。数列 $\{b_n\}$ は、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - 2n$ で与えられる。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を求めよ。

(3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k$ を求めよ。

(4) $n$ は2以上の整数とする。数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項 $a_1, a_2, \dots, a_n$ と、数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項 $b_1, b_2, \dots, b_n$ で、$a_k$ の項の番号 $k$ と $b_l$ の項の番号 $l$ が異なるものどうしの積 $a_k b_l$ ($1 \le k \le n$, $1 \le l \le n$, $k \ne l$) の総和を $T_n$ とする。$T_n$ を $n$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

等差数列の和の公式より $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = \frac{5}{2}(a_1 + a_5) = 35$。よって $a_1 + a_5 = 14$。

また $a_6 = a_1 + 5d = 13$ (ここで $d$ は公差)。

$a_5 = a_1 + 4d$ なので、$a_1 + a_1 + 4d = 14$、つまり $2a_1 + 4d = 14$。よって $a_1 + 2d = 7$。

$a_1 + 5d = 13$ と連立して解くと、$3d = 6$ なので $d=2$。

$a_1 + 2 \cdot 2 = 7$ より $a_1 = 3$。

したがって $a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)2 = 2n + 1$。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

$S_n = n^2 - 2n$ より、

$b_1 = S_1 = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$。

$n \ge 2$ のとき、$b_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 2n) - ((n-1)^2 - 2(n-1)) = (n^2 - 2n) - (n^2 - 2n + 1 - 2n + 2) = n^2 - 2n - (n^2 - 4n + 3) = 2n - 3$。

$n=1$ のとき $b_1 = 2 \cdot 1 - 3 = -1$ なので、$b_n = 2n - 3$ は $n=1$ でも成り立つ。

(3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k$ を求める。

$\sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^n (2k+1)(2k-3) = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 4k - 3) = 4 \sum_{k=1}^n k^2 - 4 \sum_{k=1}^n k - 3 \sum_{k=1}^n 1$

$= 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 3n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) - 3n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) - 9n}{3} = \frac{n(2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) - 9)}{3} = \frac{n(2(2n^2 + 3n + 1) - 6n - 6 - 9)}{3}$

$= \frac{n(4n^2 + 6n + 2 - 6n - 15)}{3} = \frac{n(4n^2 - 13)}{3} = \frac{4n^3 - 13n}{3}$。

(4) $T_n$ を求める。

$T_n = \sum_{k=1}^n \sum_{l=1, l \ne k}^n a_k b_l = \sum_{k=1}^n a_k \sum_{l=1, l \ne k}^n b_l = \sum_{k=1}^n a_k (\sum_{l=1}^n b_l - b_k) = \sum_{k=1}^n a_k (S_n - b_k) = \sum_{k=1}^n a_k (n^2 - 2n - (2k-3)) = \sum_{k=1}^n a_k (n^2 - 2n + 3 - 2k) = (n^2 - 2n + 3) \sum_{k=1}^n a_k - 2 \sum_{k=1}^n a_k k$.

$\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (2k+1) = 2 \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n^2 + 2n$.

$\sum_{k=1}^n a_k k = \sum_{k=1}^n (2k+1)k = \sum_{k=1}^n (2k^2 + k) = 2 \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(4n+2+3)}{6} = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6} = \frac{n(4n^2 + 9n + 5)}{6} = \frac{4n^3 + 9n^2 + 5n}{6}$.

$T_n = (n^2 - 2n + 3)(n^2 + 2n) - 2 \cdot \frac{4n^3 + 9n^2 + 5n}{6} = \frac{3(n^4 - 4n^2 + 3n^2 + 2n^3 - 4n^2 + 6n + 3n^2 + 6n) - (4n^3 + 9n^2 + 5n)}{3} = \frac{3n^4 + 6n^3 - 9n^2 + 18n - (4n^3 + 9n^2 + 5n)}{3} = \frac{3n^4 + 2n^3 - 18n^2 + 13n}{3}$

また、 $\sum_{k=1}^n a_k b_k$ は $a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n$.

$\sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^n a_k b_l = \sum_{k=1}^n a_k \sum_{l=1}^n b_l = (\sum_{k=1}^n a_k) (\sum_{l=1}^n b_l) = (n^2 + 2n) (n^2 - 2n) = n^4 - 4n^2$

$T_n = \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^n a_k b_l - \sum_{k=1}^n a_k b_k = (n^4 - 4n^2) - \frac{4n^3 - 13n}{3} = \frac{3n^4 - 12n^2 - 4n^3 + 13n}{3} = \frac{3n^4 - 4n^3 - 12n^2 + 13n}{3}$.

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n + 1$

(2) $b_n = 2n - 3$

(3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k = \frac{4n^3 - 13n}{3}$

(4) $T_n = \frac{3n^4 - 4n^3 - 12n^2 + 13n}{3}$