2次関数 $f(x) = ax^2 - 3ax + 2a + 1$ について、以下の問いに答えます。ただし、$a$ は0でない定数です。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点を $a$ を用いて表します。 (2) $0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値が $a^2 - 14$ であるとき、$a$ の値を求めます。 (3) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a$ だけ平行移動したグラフを表す2次関数を $y = g(x)$ とするとき、$0 \le x \le 2$ における関数 $g(x)$ の最大値を $a$ を用いて表します。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = ax^2 - 3ax + 2a + 1$ について、以下の問いに答えます。ただし、$a$ は0でない定数です。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点を $a$ を用いて表します。

(2) $0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値が $a^2 - 14$ であるとき、$a$ の値を求めます。

(3) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a$ だけ平行移動したグラフを表す2次関数を $y = g(x)$ とするとき、$0 \le x \le 2$ における関数 $g(x)$ の最大値を $a$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点を求めるには、平方完成を行います。

$f(x) = a(x^2 - 3x) + 2a + 1$

$f(x) = a(x - \frac{3}{2})^2 - a(\frac{3}{2})^2 + 2a + 1$

$f(x) = a(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}a + 2a + 1$

$f(x) = a(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}a + 1$

よって、頂点の座標は$(\frac{3}{2}, -\frac{1}{4}a + 1)$ です。

(2) $0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値を考えます。頂点の $x$ 座標は $\frac{3}{2}$ であり、これは区間 $[0, 2]$ に含まれています。

$a > 0$ のとき、下に凸の放物線なので、軸から遠い方が最大値を取ります。$x = 0$ のとき $f(0) = 2a + 1$, $x = 2$ のとき $f(2) = 4a - 6a + 2a + 1 = 1$.

$0$ と $2$ は軸から等距離なので、$a > 0$ の場合は考えなくてよい。

$a < 0$ のとき、上に凸の放物線なので、頂点で最大値を取ります。

よって、$-\frac{1}{4}a + 1 = a^2 - 14$ となります。

$a^2 + \frac{1}{4}a - 15 = 0$

$4a^2 + a - 60 = 0$

$(4a + 15)(a - 4) = 0$

$a = -\frac{15}{4}, 4$

$a < 0$ より、$a = -\frac{15}{4}$

次に、区間の端で最大値を取る場合を考えます。

$x = 0$ で最大値を取る時、$f(0) = 2a + 1 = a^2 - 14$

$a^2 - 2a - 15 = 0$

$(a - 5)(a + 3) = 0$

$a = 5, -3$

$a = -3$ の時、$f(2) = 1$ なので、$x=0$で最大となる

$x = 2$ で最大値を取る時、$f(2) = 1 = a^2 - 14$

$a^2 = 15$

$a = \pm \sqrt{15}$

$a = -\sqrt{15}$

これは不適なので、$a = 5, -3, -\frac{15}{4}, -\sqrt{15}$

$a > 0$ の場合、$f(x)$は下に凸なので、範囲の端で最大を取ります。

$f(0)=2a+1$ and $f(2)=1$なので、$f(0)$が最大になることはない。

したがって、$a = 4$ は不適。

$a>0$の時、$f(0)=2a+1$, $f(2)=1$より、$a=5$

(3) $g(x) = f(x - a) = a(x - a)^2 - 3a(x - a) + 2a + 1$

$g(x) = a(x - a)^2 - 3a(x - a) + 2a + 1$

$g(x) = a(x^2 - 2ax + a^2) - 3ax + 3a^2 + 2a + 1$

$g(x) = ax^2 - 2a^2x + a^3 - 3ax + 3a^2 + 2a + 1$

$g(x) = ax^2 - (2a^2 + 3a)x + a^3 + 3a^2 + 2a + 1$

$g(x) = a(x - \frac{2a + 3}{2})^2 - a(\frac{2a + 3}{2})^2 + a^3 + 3a^2 + 2a + 1$

頂点の $x$ 座標は $\frac{2a + 3}{2} = a + \frac{3}{2}$

$x$ の定義域は $0 \le x \le 2$.

最大値を求める。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(\frac{3}{2}, -\frac{1}{4}a + 1)$

(2) $a = -3$

(3) g(x) の最大値: