$f(x)$ は2次関数であり、$y=f(x)$ のグラフは原点を通る。また、$y=f(x)$上の点$(2, f(2))$における接線は$y=x+2$である。このとき、$f(x)$を求めよ。

1. 問題の内容

$f(x)$ は2次関数であり、$y=f(x)$ のグラフは原点を通る。また、$y=f(x)$上の点$(2, f(2))$における接線は$y=x+2$である。このとき、$f(x)$を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x)$ は2次関数なので、$f(x) = ax^2 + bx + c$ と表せる。

$y = f(x)$ のグラフは原点を通るので、$f(0) = 0$ が成り立つ。

$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 0$ より、$c = 0$ となる。

よって、$f(x) = ax^2 + bx$ となる。

$f'(x) = 2ax + b$ である。

点$(2, f(2))$における接線は$y = x + 2$なので、$f'(2) = 1$ である。

$f'(2) = 2a(2) + b = 4a + b = 1$ となる。

また、接線は点$(2, f(2))$ を通るので、$f(2) = 2 + 2 = 4$ となる。

$f(2) = a(2)^2 + b(2) = 4a + 2b = 4$ となる。

$4a + 2b = 4$ より、$2a + b = 2$ となる。

$4a + b = 1$ と $2a + b = 2$ の連立方程式を解く。

$(4a + b) - (2a + b) = 1 - 2$

$2a = -1$ より、$a = -\frac{1}{2}$ となる。

$2(-\frac{1}{2}) + b = 2$

$-1 + b = 2$ より、$b = 3$ となる。

よって、$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x$ となる。

3. 最終的な答え

$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x$