次の2つの2次式を $a(x-p)^2+q$ の形に変形（平方完成）せよ。 (1) $x^2+4x$ (2) $2x^2-6x+5$

1. 問題の内容

次の2つの2次式を $a(x-p)^2+q$ の形に変形（平方完成）せよ。

(1) $x^2+4x$

(2) $2x^2-6x+5$

2. 解き方の手順

(1) $x^2+4x$ の平方完成

$x^2+4x$ について、$x$ の係数である 4 の半分である 2 を用いて、$(x+2)^2$ を考える。

$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$ であるから、

$x^2+4x = (x+2)^2 - 4$ となる。

よって、$a(x-p)^2+q$ の形で表すと、 $a=1$, $p=-2$, $q=-4$ であるから、$1(x-(-2))^2 - 4 = (x+2)^2 - 4$ となる。

(2) $2x^2-6x+5$ の平方完成

まず、$x^2$ の係数である 2 でくくると、

$2x^2-6x+5 = 2(x^2-3x)+5$ となる。

$x^2-3x$ について、$x$ の係数である -3 の半分である $-\frac{3}{2}$ を用いて、 $(x-\frac{3}{2})^2$ を考える。

$(x-\frac{3}{2})^2 = x^2 - 3x + \frac{9}{4}$ であるから、

$x^2-3x = (x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$ となる。

よって、$2(x^2-3x)+5 = 2((x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4})+5 = 2(x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + 5 = 2(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2}$ となる。

$a(x-p)^2+q$ の形で表すと、$a=2$, $p=\frac{3}{2}$, $q=\frac{1}{2}$ であるから、$2(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $(x+2)^2 - 4$

(2) $2(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2}$