因数定理を用いて、以下の3つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^3 + x^2 - 2$ (2) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ (3) $4x^3 + 12x^2 - x - 3$

1. 問題の内容

因数定理を用いて、以下の3つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^3 + x^2 - 2$

(2) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

(3) $4x^3 + 12x^2 - x - 3$

2. 解き方の手順

因数定理を用いることで、それぞれの式を因数分解します。

(1) $x^3 + x^2 - 2$ の因数分解

まず、$P(x) = x^3 + x^2 - 2$ とおきます。

$P(1) = 1^3 + 1^2 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$ より、$x - 1$ は $P(x)$ の因数であることがわかります。

そこで、$P(x)$ を $x - 1$ で割ります。

$$\frac{x^3 + x^2 - 2}{x - 1} = x^2 + 2x + 2$$

したがって、

$x^3 + x^2 - 2 = (x - 1)(x^2 + 2x + 2)$

となります。

(2) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ の因数分解

まず、$P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ とおきます。

$P(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ より、$x - 1$ は $P(x)$ の因数であることがわかります。

そこで、$P(x)$ を $x - 1$ で割ります。

$$\frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 6}{x - 1} = x^2 - 5x + 6$$

したがって、

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$

さらに、$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ と因数分解できるので、

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$

となります。

(3) $4x^3 + 12x^2 - x - 3$ の因数分解

まず、$P(x) = 4x^3 + 12x^2 - x - 3$ とおきます。

$P(-3) = 4(-3)^3 + 12(-3)^2 - (-3) - 3 = 4(-27) + 12(9) + 3 - 3 = -108 + 108 = 0$ではないので、$x+3$が因数ではありません。

$P(1/2) = 4(1/2)^3 + 12(1/2)^2 - (1/2) - 3 = 4(1/8) + 12(1/4) - 1/2 - 3 = 1/2 + 3 - 1/2 - 3 = 0$ より、$x - 1/2$ は $P(x)$ の因数であることがわかります。つまり、$2x - 1$も因数です。

そこで、$P(x)$ を $2x - 1$ で割ります。

$$\frac{4x^3 + 12x^2 - x - 3}{2x - 1} = 2x^2 + 7x + 3$$

したがって、

$4x^3 + 12x^2 - x - 3 = (2x - 1)(2x^2 + 7x + 3)$

さらに、$2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)$ と因数分解できるので、

$4x^3 + 12x^2 - x - 3 = (2x - 1)(2x + 1)(x + 3)$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)(x^2 + 2x + 2)$

(2) $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$

(3) $(2x - 1)(2x + 1)(x + 3)$