関数 $f(x) = x^2 - 2(a+3)x + a + 13$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) グラフの頂点の座標を求める。 (2) グラフがx軸と接する時のaの値を求める。 (3) 頂点のx座標をpとしたとき、-1≤x≤5 における $f(x)$ の最小値が $f(-1)$ となるaの範囲と、最小値が $f(p)$ となるaの範囲を求める。 (4) -1≤x≤5 における $f(x)$ の最小値が4となるようなaの値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2(a+3)x + a + 13$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) グラフの頂点の座標を求める。

(2) グラフがx軸と接する時のaの値を求める。

(3) 頂点のx座標をpとしたとき、-1≤x≤5 における $f(x)$ の最小値が $f(-1)$ となるaの範囲と、最小値が $f(p)$ となるaの範囲を求める。

(4) -1≤x≤5 における $f(x)$ の最小値が4となるようなaの値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2(a+3)x + a + 13$

$f(x) = (x - (a+3))^2 - (a+3)^2 + a + 13$

$f(x) = (x - (a+3))^2 - (a^2 + 6a + 9) + a + 13$

$f(x) = (x - (a+3))^2 - a^2 - 5a + 4$

したがって、頂点の座標は $(a+3, -a^2 - 5a + 4)$

(2)

グラフがx軸と接するとき、$y = f(x) = 0$ となる実数解がただ一つ存在するので、判別式 $D = 0$ である。

$D/4 = (a+3)^2 - (a+13) = 0$

$a^2 + 6a + 9 - a - 13 = 0$

$a^2 + 5a - 4 = 0$

$a = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 16}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$

(3)

頂点のx座標 $p = a+3$

[ア] -1≤x≤5 における関数 $y = f(x)$ の最小値が $f(-1)$ となるとき、軸 $x=a+3$ が $-1$ より大きいか等しい必要があるので、$a+3 \ge 5$のとき、$f(x)$ の最小値は$f(5)$となり、 $a \ge 2$ の時矛盾するので、$a+3 < 5$。　

$p=a+3 \ge 5$ となるのは $a \ge 2$ の時で、 $-1 \le x \le 5$ での最小値は $f(5)$

$p=a+3 \le -1$ となるのは $a \le -4$ の時で、 $-1 \le x \le 5$ での最小値は $f(-1)$

$-1 < a+3 < 5$ すなわち $-4<a<2$ の時、最小値は $f(p) = -a^2-5a+4$

$p \le -1$ のとき、$a+3 \le -1$ より $a \le -4$。 このとき $-1 \le x \le 5$ で $f(x)$ は単調減少なので最小値は $f(5)$ となり、$f(5) = f(-1)$ とはならない。

$p \ge 5$ のとき、$a+3 \ge 5$ より $a \ge 2$。 このとき $-1 \le x \le 5$ で $f(x)$ は単調増加なので最小値は $f(-1)$ とはならない。

従って、$-1 \le x \le 5$ での最小値が $f(-1)$ となるのは、 $a+3 \ge 5$ すなわち $a \ge 2$ の時のみ。このとき $f(-1)$ となるのはありえない。

$-1 \le p$ すなわち $a+3 \ge -1$ のとき、$a \ge -4$。 $f(-1)$ を求める。

$f(-1) = 1 + 2(a+3) + a + 13 = 1 + 2a + 6 + a + 13 = 3a + 20$

軸が区間の外側なので、$a+3 \ge 5$ つまり $a \ge 2$ のとき、$f(x)$ は $-1 \le x \le 5$ で単調増加するので、最小値は $f(-1)$.

軸が区間の中にある時、$p = a+3$

$f(p) = -a^2-5a+4 = f(-1) = 3a+20$

$-a^2 - 8a - 16 = 0$

$(a+4)^2 = 0$

$a = -4$

$-4 \le a \le 2$

$f(-1) = 3a+20$.

最小値は $f(-1)$ となるのは、$p \ge 5$ のとき、$a \ge 2$.

このとき $f(-1) = 3a+20$ が最小値。

$p < 5$のとき、$a < 2$. 最小値は $f(p) = -a^2-5a+4$.

$-a^2-5a+4=3a+20$.

$0 = a^2 + 8a + 16 = (a+4)^2$, $a=-4$

-1≤x≤5における関数y=f(x)の最小値がf(-1)となるようなaの値の範囲は$a \le -4$.

[イ] -1≤x≤5における関数y=f(x)の最小値がf(p)となるようなaの値の範囲は $-4 \le a \le 2$ である。

3. $a \le 2$

(4)

-1≤x≤5における関数y=f(x)の最小値が4となるような定数aの値を求めよ。

最小値が4となるのは、$f(p) = 4$のときである。

$f(p) = -a^2-5a+4 = 4$

$-a^2 - 5a = 0$

$a(a+5) = 0$

$a = 0, -5$

$a = 0$ のとき、頂点は(3, 4). $-1 \le x \le 5$ において $x=3$ が範囲内にあり、 $f(3) = 4$ となる。

$a = -5$ のとき、頂点は(-2, 4). $-1 \le x \le 5$ において $x=-2$ が範囲内にあり、 $f(-2) = 4$ となる。

$a=0$ のとき、f(x)=x^2 - 6x + 13 = (x-3)^2 + 4

$a=-5$ のとき、f(x)=x^2 + 4x + 8 = (x+2)^2 + 4

したがって、$a = 0, -5$

3. 最終的な答え

(1) $(a+3, -a^2 - 5a + 4)$

(2) $a = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$

(3) [ア] $a \le -4$、①: -4。　[イ] ②: -4, ③: 2。

(4) $a = 0, -5$