与えられた3つの行列の逆行列を求める問題です。 (1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$ (2) $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (3) $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & -3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列の逆行列を求める問題です。

(1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$

(2) $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & -3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の逆行列は、行列式を計算し、成分を入れ替えたり符号を変えたりすることで求められます。

行列式 $det(A) = 2 \times 9 - 5 \times 4 = 18 - 20 = -2$

逆行列 $A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} 9 & -5 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$

(2) 3x3行列の逆行列は、掃き出し法または余因子行列を利用して求めます。今回は掃き出し法を用います。

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、単位行列を並べた$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 &|& 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$を基本変形します。

まず2行目を2行目-2x1行とします。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &|& -2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に3行目を3行目+1行とします。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &|& -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 &|& 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に3行目を3行目-2x2行とします。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &|& -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& 5 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & -3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

行列式 $det(C) = 1(-3-3) - 2(-2-2) + 2(-6+6) = -6 + 8 + 0 = 2$

余因子行列を求めます。

$C_{11} = -3-3 = -6$, $C_{12} = -(-2-2) = 4$, $C_{13} = -6+6 = 0$

$C_{21} = -(2-6) = 4$, $C_{22} = 1-4 = -3$, $C_{23} = -(3-4) = 1$

$C_{31} = 2+6 = 8$, $C_{32} = -(1+4) = -5$, $C_{33} = -3+4 = 1$

余因子行列は$\begin{pmatrix} -6 & 4 & 0 \\ 4 & -3 & 1 \\ 8 & -5 & 1 \end{pmatrix}$

転置行列は$\begin{pmatrix} -6 & 4 & 8 \\ 4 & -3 & -5 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

逆行列 $C^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -6 & 4 & 8 \\ 4 & -3 & -5 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 4 \\ 2 & -3/2 & -5/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^{-1} = \begin{pmatrix} -9/2 & 5/2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

(2) $B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 5 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $C^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 4 \\ 2 & -3/2 & -5/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$