行列 $A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ を対角化せよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ を対角化せよ。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を求めます。固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} \cos\theta - \lambda & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta - \lambda \end{vmatrix} = (\cos\theta - \lambda)^2 + \sin^2\theta = 0$

$\lambda^2 - 2\lambda\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta = 0$

$\lambda^2 - 2\lambda\cos\theta + 1 = 0$

これを解くと、

$\lambda = \frac{2\cos\theta \pm \sqrt{4\cos^2\theta - 4}}{2} = \cos\theta \pm \sqrt{\cos^2\theta - 1} = \cos\theta \pm i\sin\theta$

よって、固有値は $\lambda_1 = \cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta}$ と $\lambda_2 = \cos\theta - i\sin\theta = e^{-i\theta}$ となります。

次に、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = e^{i\theta}$ のとき、$(A - \lambda_1 I)v_1 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} \cos\theta - e^{i\theta} & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta - e^{i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\cos\theta - e^{i\theta} = \cos\theta - \cos\theta - i\sin\theta = -i\sin\theta$

$-i\sin\theta x - \sin\theta y = 0$

$-ix - y = 0$

$y = -ix$

よって、固有ベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$ となります。

$\lambda_2 = e^{-i\theta}$ のとき、$(A - \lambda_2 I)v_2 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} \cos\theta - e^{-i\theta} & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta - e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\cos\theta - e^{-i\theta} = \cos\theta - \cos\theta + i\sin\theta = i\sin\theta$

$i\sin\theta x - \sin\theta y = 0$

$ix - y = 0$

$y = ix$

よって、固有ベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$ となります。

固有ベクトルを並べて行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -i & i \end{pmatrix}$ を作ります。

$P^{-1}AP = D$ となる対角行列 $D$ は、固有値を対角成分に持つ行列 $D = \begin{pmatrix} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{pmatrix}$ となります。

行列 $P$ の逆行列を求めます。

$|P| = i - (-i) = 2i$

$P^{-1} = \frac{1}{2i}\begin{pmatrix} i & -1 \\ i & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \end{pmatrix}$

したがって、$A$ の対角化は $P^{-1}AP = D$ で与えられます。

3. 最終的な答え

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -i & i \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{pmatrix}$, $P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \end{pmatrix}$