与えられた置換 $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 4 & 1 & 9 & 8 & 6 & 5 & 7 & 2 \end{pmatrix} $ を、互いに素な巡回置換の積で表し、符号を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた置換

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\

3 & 4 & 1 & 9 & 8 & 6 & 5 & 7 & 2

\end{pmatrix}

$$

を、互いに素な巡回置換の積で表し、符号を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた置換を巡回置換の積で表します。

* 1から始めると、$1 \mapsto 3 \mapsto 1$ となり、巡回置換 $(1\ 3)$ が得られます。

* 2から始めると、$2 \mapsto 4 \mapsto 9 \mapsto 2$ となり、巡回置換 $(2\ 4\ 9)$ が得られます。

* 5から始めると、$5 \mapsto 8 \mapsto 7 \mapsto 5$ となり、巡回置換 $(5\ 8\ 7)$ が得られます。

* 6 は $6\mapsto 6$で、動かないので巡回置換としては考えません。

したがって、与えられた置換は、互いに素な巡回置換の積として $(1\ 3)(2\ 4\ 9)(5\ 8\ 7)$ と表せます。

次に、符号を計算します。巡回置換 $(1\ 3)$ の長さは2なので、これは $(2-1) = 1$ 個の互換の積で表せます。巡回置換 $(2\ 4\ 9)$ の長さは3なので、これは $(3-1) = 2$ 個の互換の積で表せます。巡回置換 $(5\ 8\ 7)$ の長さは3なので、これは $(3-1) = 2$ 個の互換の積で表せます。

したがって、与えられた置換は $1 + 2 + 2 = 5$ 個の互換の積で表せます。

置換の符号は、互換の数が偶数なら +1、奇数なら -1 となります。今回は5個の互換なので、奇数となり、符号は -1 です。

3. 最終的な答え

巡回置換の積の表示: $(1\ 3)(2\ 4\ 9)(5\ 8\ 7)$

符号: -1