与えられた3つの行列の逆行列を求める問題です。 (1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$ (2) $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (3) $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & -3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列の逆行列を求める問題です。

(1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$

(2) $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & -3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の逆行列を求める。

行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列は、行列式 $det(A) = ad - bc$ が0でないとき、

$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ で与えられます。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$ の場合、行列式は $det(A) = (2)(9) - (5)(4) = 18 - 20 = -2$ です。

したがって、$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 9 & -5 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9/2 & 5/2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

(2) 3x3行列の逆行列を求める。

行列 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ は下三角行列なので、逆行列も下三角行列になります。

$B^{-1} = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ b & c & 0 \\ d & e & f \end{pmatrix}$とすると、

$B B^{-1} = I$となるようなa,b,c,d,e,fを求めます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ b & c & 0 \\ d & e & f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

この積を計算すると:

$\begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 2a+b & c & 0 \\ -a+2b+d & 2c+e & f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

これにより、

$a=1, c=1, f=1$

$2a+b=0 \implies b=-2$

$-a+2b+d=0 \implies d=a-2b = 1 - 2(-2) = 5$

$2c+e=0 \implies e=-2$

したがって、

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 5 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 3x3行列の逆行列を求める。

行列 $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & -3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ について、余因子行列を計算し、行列式で割ることで逆行列を求めます。

$det(C) = 1(-3-3) - 2(-2-2) + 2(-6+6) = -6 + 8 + 0 = 2$

余因子行列は以下のようになります。

$C_{11} = -3-3 = -6, C_{12} = -(-2-2) = 4, C_{13} = -6+6 = 0$

$C_{21} = -(2-6) = 4, C_{22} = 1-4 = -3, C_{23} = -(3-4) = 1$

$C_{31} = 2+6 = 8, C_{32} = -(1+4) = -5, C_{33} = -3+4 = 1$

余因子行列は

$\begin{pmatrix} -6 & 4 & 0 \\ 4 & -3 & 1 \\ 8 & -5 & 1 \end{pmatrix}$

転置すると

$\begin{pmatrix} -6 & 4 & 8 \\ 4 & -3 & -5 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、逆行列は

$C^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -6 & 4 & 8 \\ 4 & -3 & -5 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 4 \\ 2 & -3/2 & -5/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^{-1} = \begin{pmatrix} -9/2 & 5/2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

(2) $B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 5 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $C^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 4 \\ 2 & -3/2 & -5/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$