$a+b+c=0$のとき、次の等式を証明します。 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc = 0$

はい、承知いたしました。練習25の問題を解きます。

1. 問題の内容

$a+b+c=0$のとき、次の等式を証明します。

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc = 0$

2. 解き方の手順

まず、$a+b+c=0$より、$a+b=-c$, $b+c=-a$, $c+a=-b$であることを利用します。

左辺に代入すると、

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc = ab(-c) + bc(-a) + ca(-b) + 3abc$

$= -abc - abc - abc + 3abc$

$= -3abc + 3abc$

$= 0$

したがって、与えられた等式は成り立ちます。

3. 最終的な答え

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc = 0$