数列 $1 \cdot n, 3 \cdot (n-1), 5 \cdot (n-2), \dots, (2n-3) \cdot 2, (2n-1) \cdot 1$ の和を求める。

1. 問題の内容

数列 $1 \cdot n, 3 \cdot (n-1), 5 \cdot (n-2), \dots, (2n-3) \cdot 2, (2n-1) \cdot 1$ の和を求める。

2. 解き方の手順

この数列の一般項を考える。第$k$項は、奇数の数列 $1, 3, 5, \dots$ の第$k$項と、数列 $n, n-1, n-2, \dots$ の第$k$項の積で表される。

奇数の数列の第$k$項は $2k-1$ であり、数列 $n, n-1, n-2, \dots$ の第$k$項は $n - (k-1) = n - k + 1$ である。

したがって、第$k$項 $a_k$ は、

$a_k = (2k-1)(n-k+1)$

と表される。

この数列の項数は $n$ であるから、求める和 $S$ は、

$S = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(n-k+1)$

と表される。

展開して、

$S = \sum_{k=1}^{n} (2kn - 2k^2 + 2k - n + k - 1)$

$S = \sum_{k=1}^{n} (2kn - 2k^2 + 3k - n - 1)$

$\sum$ の性質を用いて、

$S = 2n \sum_{k=1}^{n} k - 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} n - \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} n = n^2$, $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を代入すると、

$S = 2n \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n^2 - n$

$S = n^2(n+1) - \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{3n(n+1)}{2} - n^2 - n$

$S = n^3 + n^2 - \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{3} + \frac{3n^2 + 3n}{2} - n^2 - n$

$S = n^3 - \frac{2}{3}n^3 + n^2 - \frac{3}{3}n^2 + \frac{3}{2}n^2 - n^2 - \frac{1}{3}n + \frac{3}{2}n - n$

$S = \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$