3つの直線 $x - 2y + 4 = 0$, $2x + y + 3 = 0$, $mx - y + 3 = 0$ が三角形を作らないような定数 $m$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3つの直線 $x - 2y + 4 = 0$, $2x + y + 3 = 0$, $mx - y + 3 = 0$ が三角形を作らないような定数 $m$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

3つの直線が三角形を作らないのは、以下のいずれかの場合です。

(1) 3つの直線が1点で交わる。

(2) 3つの直線のうち、少なくとも2つが平行である。

まず、$x - 2y + 4 = 0$ と $2x + y + 3 = 0$ の交点を求めます。

$x - 2y + 4 = 0$ より、$x = 2y - 4$。

これを $2x + y + 3 = 0$ に代入すると、

$2(2y - 4) + y + 3 = 0$

$4y - 8 + y + 3 = 0$

$5y - 5 = 0$

$y = 1$

$x = 2(1) - 4 = -2$

したがって、交点は $(-2, 1)$ です。

(1) 3つの直線が1点で交わる場合、直線 $mx - y + 3 = 0$ も点 $(-2, 1)$ を通ります。

$m(-2) - 1 + 3 = 0$

$-2m + 2 = 0$

$2m = 2$

$m = 1$

(2) 3つの直線のうち、少なくとも2つが平行である場合を考えます。

直線 $x - 2y + 4 = 0$ の傾きは $1/2$ です。

直線 $2x + y + 3 = 0$ の傾きは $-2$ です。

直線 $mx - y + 3 = 0$ の傾きは $m$ です。

(a) $x - 2y + 4 = 0$ と $mx - y + 3 = 0$ が平行な場合、

$m = 1/2$

(b) $2x + y + 3 = 0$ と $mx - y + 3 = 0$ が平行な場合、

$m = -2$

したがって、$m = 1, 1/2, -2$ が答えの候補です。

3. 最終的な答え

$m = 1, \frac{1}{2}, -2$