$a+b+c=0$ のとき、$a^2+ca=b^2+bc$ を証明する。

## 練習24

1. 問題の内容

$a+b+c=0$ のとき、$a^2+ca=b^2+bc$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、$a+b+c=0$ より、$c = -a-b$ である。これを等式 $a^2+ca=b^2+bc$ の左辺と右辺に代入し、変形して等しいことを示す。

左辺:

$a^2 + ca = a^2 + (-a-b)a = a^2 - a^2 - ab = -ab$

右辺:

$b^2 + bc = b^2 + (-a-b)b = b^2 - ab - b^2 = -ab$

したがって、$a^2+ca = -ab = b^2+bc$ である。

3. 最終的な答え

$a^2+ca = b^2+bc$

## 練習25

1. 問題の内容

$a+b+c=0$ のとき、$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc = 0$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、$a+b+c=0$ より、$a+b = -c$, $b+c = -a$, $c+a = -b$ である。これを等式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc = 0$ の左辺に代入し、変形して0になることを示す。

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc = ab(-c)+bc(-a)+ca(-b)+3abc = -abc - abc - abc + 3abc = -3abc + 3abc = 0$

したがって、$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc = 0$ である。

3. 最終的な答え

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc = 0$