次の3つの等式を証明します。 (1) $a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$ (2) $a^2 + ab + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2$ (3) $(1+x)^3 = 1 + x + x(1+x) + x(1+x)^2$

1. 問題の内容

次の3つの等式を証明します。

(1) $a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$

(2) $a^2 + ab + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2$

(3) $(1+x)^3 = 1 + x + x(1+x) + x(1+x)^2$

2. 解き方の手順

(1)

右辺を展開します。

$(a-b)^3 + 3ab(a-b) = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 + 3a^2b - 3ab^2 = a^3 - b^3$

左辺と右辺が等しいので、与えられた等式は証明されました。

(2)

右辺を展開します。

$(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 = a^2 + ab + \frac{b^2}{4} + \frac{3b^2}{4} = a^2 + ab + b^2$

左辺と右辺が等しいので、与えられた等式は証明されました。

(3)

右辺を展開します。

$1 + x + x(1+x) + x(1+x)^2 = 1 + x + x + x^2 + x(1+2x+x^2) = 1 + x + x + x^2 + x + 2x^2 + x^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3$

左辺を展開します。

$(1+x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3$

左辺と右辺が等しいので、与えられた等式は証明されました。

3. 最終的な答え

(1) $a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$ は証明されました。

(2) $a^2 + ab + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2$ は証明されました。

(3) $(1+x)^3 = 1 + x + x(1+x) + x(1+x)^2$ は証明されました。