与えられた式 $\sqrt{a^2b^{-1}c^3} \div \sqrt[3]{a^4b^2c}$ を計算し、その結果を $a^mb^nc^p$ の形で表すとき、$m, n, p$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{a^2b^{-1}c^3} \div \sqrt[3]{a^4b^2c}$ を計算し、その結果を $a^mb^nc^p$ の形で表すとき、$m, n, p$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの根号を指数表記に変換します。

$\sqrt{a^2b^{-1}c^3} = (a^2b^{-1}c^3)^{\frac{1}{2}} = a^{2 \times \frac{1}{2}}b^{-1 \times \frac{1}{2}}c^{3 \times \frac{1}{2}} = a^1b^{-\frac{1}{2}}c^{\frac{3}{2}}$

$\sqrt[3]{a^4b^2c} = (a^4b^2c)^{\frac{1}{3}} = a^{4 \times \frac{1}{3}}b^{2 \times \frac{1}{3}}c^{1 \times \frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}}c^{\frac{1}{3}}$

次に、除算を計算します。

$a^1b^{-\frac{1}{2}}c^{\frac{3}{2}} \div a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}}c^{\frac{1}{3}} = \frac{a^1b^{-\frac{1}{2}}c^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}}c^{\frac{1}{3}}} = a^{1-\frac{4}{3}}b^{-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}}c^{\frac{3}{2}-\frac{1}{3}}$

各指数を計算します。

$1 - \frac{4}{3} = \frac{3}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$

$-\frac{1}{2} - \frac{2}{3} = -\frac{3}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{7}{6}$

$\frac{3}{2} - \frac{1}{3} = \frac{9}{6} - \frac{2}{6} = \frac{7}{6}$

したがって、

$a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{7}{6}}c^{\frac{7}{6}}$

3. 最終的な答え

$a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{7}{6}}c^{\frac{7}{6}}$