3つの直線 $2x - 3y = 12$, $-\frac{1}{3}x + 2y = 1$, $x - ay = 8$ が三角形を作らないような $a$ の値を全て求めよ。

1. 問題の内容

3つの直線 $2x - 3y = 12$, $-\frac{1}{3}x + 2y = 1$, $x - ay = 8$ が三角形を作らないような $a$ の値を全て求めよ。

2. 解き方の手順

3つの直線が三角形を作らない場合、以下のいずれかが成り立つ。

(1) 3つの直線が全て平行である。

(2) 3つの直線のうち2つが平行である。

(3) 3つの直線が1点で交わる。

まず、それぞれの直線の傾きを求める。

直線1: $2x - 3y = 12 \Rightarrow 3y = 2x - 12 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x - 4$。傾きは $\frac{2}{3}$。

直線2: $-\frac{1}{3}x + 2y = 1 \Rightarrow 2y = \frac{1}{3}x + 1 \Rightarrow y = \frac{1}{6}x + \frac{1}{2}$。傾きは $\frac{1}{6}$。

直線3: $x - ay = 8 \Rightarrow ay = x - 8 \Rightarrow y = \frac{1}{a}x - \frac{8}{a}$。傾きは $\frac{1}{a}$。

(1) 3つの直線が全て平行である場合:

3つの直線の傾きが全て等しくなければならないが、直線1と直線2の傾きが異なるため、このケースはあり得ない。

(2) 3つの直線のうち2つが平行である場合:

i) 直線1と直線3が平行: $\frac{2}{3} = \frac{1}{a} \Rightarrow a = \frac{3}{2}$

ii) 直線2と直線3が平行: $\frac{1}{6} = \frac{1}{a} \Rightarrow a = 6$

(3) 3つの直線が1点で交わる場合:

直線1と直線2の交点を求める。

$y = \frac{2}{3}x - 4$ と $y = \frac{1}{6}x + \frac{1}{2}$ を連立して解く。

$\frac{2}{3}x - 4 = \frac{1}{6}x + \frac{1}{2}$

$\frac{4}{6}x - \frac{1}{6}x = \frac{1}{2} + 4$

$\frac{3}{6}x = \frac{9}{2}$

$\frac{1}{2}x = \frac{9}{2}$

$x = 9$

$y = \frac{2}{3}(9) - 4 = 6 - 4 = 2$

交点は $(9, 2)$。

直線3がこの交点を通る場合、$9 - a(2) = 8 \Rightarrow 2a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$。

3. 最終的な答え

$a = \frac{3}{2}, 6, \frac{1}{2}$