与えられた置換の積を計算し、結果を互換の積で表す問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた置換の積を計算し、結果を互換の積で表す問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

まず、置換の積を計算します。

1 → 4 → 2

2 → 3 → 1

3 → 1 → 3

4 → 2 → 1(定義されない)

なので、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$になるはずですが、右側の置換が4つの要素に対するものなので、左側の置換も4つの要素に対するものとして考える必要があります。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1 → 4 → 4

2 → 3 → 2

3 → 1 → 3

4 → 2 → 1

従って積は、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$となります。

これを互換の積で表します。

(1 4)

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

右側の置換は3つの要素に対するものなので、5つの要素に対する置換として考える必要があります。つまり、4と5は変化しないと考えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

1 → 3 → 4

2 → 2 → 1

3 → 1 → 5

4 → 4 → 2

5 → 5 → 3

従って積は、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 1 & 5 & 2 & 3 \end{pmatrix}$となります。

これを互換の積で表します。

(1 4 2)(3 5)

(1 4)(4 2)(3 5)

(1 4)(2 4)(3 5)

3. 最終的な答え

(1) (1 4)

(2) (1 4)(2 4)(3 5)