等差数列$\{a_n\}$について、$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 35$、$a_6 = 13$が与えられている。数列$\{b_n\}$の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、$S_n = n^2 - 2n$ である。 (1) 数列$\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。 (2) 数列$\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を求めよ。 (3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k$ を求めよ。 (4) $n$ は2以上の整数とする。数列$\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項 $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ と、数列$\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項 $b_1, b_2, b_3, \dots, b_n$ で、$a_k$ の項の番号 $k$ と $b_l$ の項の番号 $l$ が異なるものどうしの積 $a_k b_l$ ($1 \le k \le n$, $1 \le l \le n$, $k \ne l$) の総和を $T_n$ とする。$T_n$ を $n$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

等差数列$\{a_n\}$について、$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 35$、$a_6 = 13$が与えられている。数列$\{b_n\}$の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、$S_n = n^2 - 2n$ である。

(1) 数列$\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) 数列$\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を求めよ。

(3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k$ を求めよ。

(4) $n$ は2以上の整数とする。数列$\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項 $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ と、数列$\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項 $b_1, b_2, b_3, \dots, b_n$ で、$a_k$ の項の番号 $k$ と $b_l$ の項の番号 $l$ が異なるものどうしの積 $a_k b_l$ ($1 \le k \le n$, $1 \le l \le n$, $k \ne l$) の総和を $T_n$ とする。$T_n$ を $n$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列$\{a_n\}$の初項を $a$、公差を $d$ とすると、

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) + (a+4d) = 5a + 10d = 35$

$a_6 = a + 5d = 13$

連立方程式を解く。

$5a + 10d = 35 \implies a + 2d = 7$

$a + 5d = 13$

$3d = 6 \implies d = 2$

$a + 2(2) = 7 \implies a = 3$

したがって、$a_n = a + (n-1)d = 3 + (n-1)2 = 2n + 1$

(2) $S_n = n^2 - 2n$ なので、

$b_n = S_n - S_{n-1} \quad (n \ge 2)$

$b_1 = S_1 = 1^2 - 2(1) = -1$

$S_{n-1} = (n-1)^2 - 2(n-1) = n^2 - 2n + 1 - 2n + 2 = n^2 - 4n + 3$

$b_n = (n^2 - 2n) - (n^2 - 4n + 3) = 2n - 3 \quad (n \ge 2)$

$b_1 = 2(1) - 3 = -1$ なので、$b_n = 2n - 3$ は $n = 1$ のときも成り立つ。

(3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^n (2k+1)(2k-3) = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 4k - 3) = 4\sum_{k=1}^n k^2 - 4\sum_{k=1}^n k - 3\sum_{k=1}^n 1$

$= 4 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \frac{n(n+1)}{2} - 3n = \frac{2}{3}n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) - 3n$

$= \frac{2n(2n^2 + 3n + 1)}{3} - 2n^2 - 2n - 3n = \frac{4n^3 + 6n^2 + 2n}{3} - 2n^2 - 5n = \frac{4n^3 + 6n^2 + 2n - 6n^2 - 15n}{3} = \frac{4n^3 - 13n}{3}$

(4) $(\sum_{k=1}^n a_k)(\sum_{l=1}^n b_l) = \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^n a_k b_l = \sum_{k=1}^n a_k b_k + \sum_{k \ne l} a_k b_l$

よって、 $T_n = \sum_{k \ne l} a_k b_l = (\sum_{k=1}^n a_k)(\sum_{l=1}^n b_l) - \sum_{k=1}^n a_k b_k$

$\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (2k+1) = 2\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1 = 2\frac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n^2 + 2n$

$\sum_{l=1}^n b_l = S_n = n^2 - 2n$

$T_n = (n^2+2n)(n^2-2n) - \frac{4n^3 - 13n}{3} = n^4 - 4n^2 - \frac{4n^3 - 13n}{3} = \frac{3n^4 - 4n^3 - 12n^2 + 13n}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n + 1$

(2) $b_n = 2n - 3$

(3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k = \frac{4n^3 - 13n}{3}$

(4) $T_n = \frac{3n^4 - 4n^3 - 12n^2 + 13n}{3}$