数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が等差数列であるとき、次の数列も等差数列であることを示す。 (1) $\{3a_n - 2b_n\}$ (2) $\{a_{2n}\}$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が等差数列であるとき、次の数列も等差数列であることを示す。

(1) $\{3a_n - 2b_n\}$

(2) $\{a_{2n}\}$

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が等差数列なので、それぞれ公差を $d_a$、$d_b$ とすると、

$a_{n+1} - a_n = d_a$

$b_{n+1} - b_n = d_b$

が成り立つ。

数列 $\{3a_n - 2b_n\}$ について、$n+1$ 番目の項と $n$ 番目の項の差を計算する。

$(3a_{n+1} - 2b_{n+1}) - (3a_n - 2b_n) = 3(a_{n+1} - a_n) - 2(b_{n+1} - b_n) = 3d_a - 2d_b$

これは $n$ に依存しない定数なので、数列 $\{3a_n - 2b_n\}$ は等差数列である。公差は $3d_a - 2d_b$ である。

(2) 数列 $\{a_n\}$ が等差数列なので、公差を $d_a$ とすると、

$a_{n+1} - a_n = d_a$

が成り立つ。

数列 $\{a_{2n}\}$ について、$n+1$ 番目の項と $n$ 番目の項の差を計算する。

$a_{2(n+1)} - a_{2n} = a_{2n+2} - a_{2n} = (a_{2n+2} - a_{2n+1}) + (a_{2n+1} - a_{2n})$

$= d_a + d_a = 2d_a$

これは $n$ に依存しない定数なので、数列 $\{a_{2n}\}$ は等差数列である。公差は $2d_a$ である。

3. 最終的な答え

(1) 数列 $\{3a_n - 2b_n\}$ は等差数列である。

(2) 数列 $\{a_{2n}\}$ は等差数列である。