2次関数 $f(x) = -x^2 + 6x$ の区間 $a \le x \le a+1$ における最大値 $M(a)$ を $a$ の式で表す問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = -x^2 + 6x$ の区間 $a \le x \le a+1$ における最大値 $M(a)$ を $a$ の式で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$f(x) = -x^2 + 6x = -(x^2 - 6x) = -(x^2 - 6x + 9 - 9) = -(x-3)^2 + 9$

よって、この2次関数の頂点は $(3, 9)$ です。上に凸な放物線です。

次に、区間 $a \le x \le a+1$ における最大値を考えます。

(i) $a+1 < 3$ つまり $a < 2$ のとき、区間は頂点の左側にあります。

よって、$x = a+1$ で最大値を取ります。

$M(a) = f(a+1) = -(a+1)^2 + 6(a+1) = -(a^2 + 2a + 1) + 6a + 6 = -a^2 - 2a - 1 + 6a + 6 = -a^2 + 4a + 5$

(ii) $a \le 3 \le a+1$ つまり $2 \le a \le 3$ のとき、区間は頂点を含みます。

よって、$x = 3$ で最大値を取ります。

$M(a) = f(3) = 9$

(iii) $a > 3$ のとき、区間は頂点の右側にあります。

よって、$x = a$ で最大値を取ります。

$M(a) = f(a) = -a^2 + 6a$

以上より、$M(a)$ は次のように表されます。

$ M(a) =

\begin{cases}

-a^2 + 4a + 5 & (a < 2) \\

9 & (2 \le a \le 3) \\

-a^2 + 6a & (a > 3)

\end{cases}

$$

3. 最終的な答え

$ M(a) =

\begin{cases}

-a^2 + 4a + 5 & (a < 2) \\

9 & (2 \le a \le 3) \\

-a^2 + 6a & (a > 3)

\end{cases}

$$