与えられた3つの行列の逆行列を求める問題です。 (1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$ (2) $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (3) $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & -3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列の逆行列を求める問題です。

(1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$

(2) $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & -3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の逆行列の公式を利用します。行列$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$の逆行列は$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$です。

まず、行列式を計算します。

$\det(A) = (2)(9) - (5)(4) = 18 - 20 = -2$

よって、$A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 9 & -5 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9/2 & 5/2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

(2) 3x3行列の逆行列を求めます。行列$B$は下三角行列なので、逆行列も下三角行列になります。

$B^{-1}$を$(b_{ij})$とすると、$B B^{-1} = I$となるはずです。

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 \\ y & z & 1 \end{pmatrix}$と置く。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 \\ y & z & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2+x & 1 & 0 \\ -1+2x+y & 2+z & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$2+x=0$ より $x = -2$.

$-1+2x+y = 0$ より $-1+2(-2)+y=0$, つまり $-1-4+y=0$なので $y=5$.

$2+z=0$ より $z = -2$.

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 5 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 3x3行列の逆行列を求めます。行列$C$の逆行列を求めるには、掃き出し法を用いるか、余因子行列を利用します。ここでは掃き出し法を用います。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & -3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目に1行目の2倍を足し、3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に2行目を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引き、3行目を2で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -8 & -3 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$

1行目に3行目の8倍を足し、2行目から3行目の5倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -3 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -3/2 & -5/2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$

$C^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 4 \\ 2 & -3/2 & -5/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^{-1} = \begin{pmatrix} -9/2 & 5/2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

(2) $B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 5 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $C^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 4 \\ 2 & -3/2 & -5/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$