与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 + 1)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 + 1)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、シグマ記号を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 + 1) = \sum_{k=1}^{n} 4k^2 + \sum_{k=1}^{n} 1$

定数項を外に出します。

$\sum_{k=1}^{n} 4k^2 + \sum_{k=1}^{n} 1 = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 1$

次に、$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} 1$ をそれぞれ計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの結果を代入します。

$4\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 1 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n$

式を整理します。

$4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + n$

共通因子 $n$ でくくります。

$\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + n = n \left( \frac{2(n+1)(2n+1)}{3} + 1 \right)$

括弧の中を計算します。

$n \left( \frac{2(2n^2 + 3n + 1)}{3} + 1 \right) = n \left( \frac{4n^2 + 6n + 2}{3} + 1 \right) = n \left( \frac{4n^2 + 6n + 2 + 3}{3} \right)$

$= n \left( \frac{4n^2 + 6n + 5}{3} \right)$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 + 1) = \frac{n(4n^2 + 6n + 5)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(4n^2 + 6n + 5)}{3}$