初項1、公差3の等差数列を、1個、2個、3個、...と群に分ける。 (1) 第n群の最初の数を求めよ。 (2) 第n群に含まれる数の和を求めよ。 (3) 148は第何群の何番目の数か。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

初項1、公差3の等差数列を、1個、2個、3個、...と群に分ける。

(1) 第n群の最初の数を求めよ。

(2) 第n群に含まれる数の和を求めよ。

(3) 148は第何群の何番目の数か。

2. 解き方の手順

(1) 第n群の最初の数を求める。

まず、第n群の最初の数は、もとの等差数列の何番目にあたるかを考える。

第n-1群までの項数の合計は、

$1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$

となる。

したがって、第n群の最初の数は、もとの等差数列の$\frac{(n-1)n}{2} + 1$番目にあたる。

もとの等差数列の一般項は、$a_n = 1 + (n-1)3 = 3n - 2$である。

したがって、第n群の最初の数は、

$3(\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 2 = \frac{3n^2 - 3n + 6}{2} - 2 = \frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$

となる。

(2) 第n群に含まれる数の和を求める。

第n群にはn個の数が含まれる。

第n群の最初の数は$\frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$である。

第n群の末項は、もとの等差数列の$\frac{(n-1)n}{2} + n = \frac{n^2 + n}{2}$番目にあたるので、$3(\frac{n^2 + n}{2}) - 2 = \frac{3n^2 + 3n - 4}{2}$となる。

したがって、第n群に含まれる数の和は、等差数列の和の公式から

$S_n = \frac{n}{2} ( (\frac{3n^2 - 3n + 2}{2}) + (\frac{3n^2 + 3n - 4}{2}) ) = \frac{n}{2} (\frac{6n^2 - 2}{2}) = \frac{n(3n^2 - 1)}{2} = \frac{3n^3 - n}{2}$

となる。

(3) 148は第何群の何番目の数か。

まず、148がもとの数列の何番目にあるかを求める。

$3n - 2 = 148$を解くと、$3n = 150$, $n = 50$となる。したがって148はもとの等差数列の50番目の項である。

次に、第n群までの項数の合計が50に最も近くなるようなnを求める。

$\frac{n(n+1)}{2} \le 50$を満たす最大のnを求める。

$n(n+1) \le 100$であるから、$n=9$のとき、$9 \times 10 = 90 \le 100$, $n=10$のとき、$10 \times 11 = 110 > 100$となる。

したがって、148は第10群にある。

第9群までの項数の合計は$\frac{9 \times 10}{2} = 45$である。

したがって、148は第10群の$50 - 45 = 5$番目の数である。

3. 最終的な答え

(1) 第n群の最初の数： $\frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$

(2) 第n群に含まれる数の和： $\frac{3n^3 - n}{2}$

(3) 148は第10群の5番目の数