与えられた置換の積を計算し、互換の積で表す問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた置換の積を計算し、互換の積で表す問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

置換の積は、右側の置換を先に行い、その結果に対して左側の置換を行うことで計算します。互換の積で表すには、サイクル表記を利用すると便利です。

(1)

まず、それぞれの置換をサイクル表記で表します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} = (132)$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} = (1423)$

次に、積を計算します。

$(1423)(132)$を計算します。

- 1は(132)で3に、3は(1423)で1に移るので、積では1は1に移ります。

- 2は(132)で1に、1は(1423)で4に移るので、積では2は4に移ります。

- 3は(132)で2に、2は(1423)で3に移るので、積では3は3に移ります。

- 4は(132)にないので4、4は(1423)で2に移るので、積では4は2に移ります。

したがって、積は$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} = (24)$となります。

互換の積で表すと、$(24)$です。

(2)

それぞれの置換をサイクル表記で表します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix} = (15342)$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = (13)$

次に、積を計算します。

$(15342)(13)$を計算します。

- 1は(13)で3に、3は(15342)で4に移るので、積では1は4に移ります。

- 2は(13)にないので2、2は(15342)で1に移るので、積では2は1に移ります。

- 3は(13)で1に、1は(15342)で5に移るので、積では3は5に移ります。

- 4は(13)にないので4、4は(15342)で2に移るので、積では4は2に移ります。

- 5は(13)にないので5、5は(15342)で3に移るので、積では5は3に移ります。

したがって、積は$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 1 & 5 & 2 & 3 \end{pmatrix} = (142)(35)$となります。

互換の積で表すと、 $(14)(42)(35)$となります。

3. 最終的な答え

(1) $(24)$

(2) $(14)(42)(35)$