与えられた2つの写像 $T(x)$ が線形写像であるかどうかを判断する必要があります。一つ目の写像は $T(x) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix}$ であり、二つ目の写像は $T(x) = \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix}$ です。どちらの写像も $\mathbb{R}^3$ から $\mathbb{R}^2$ への写像です。

1. 問題の内容

与えられた2つの写像 $T(x)$ が線形写像であるかどうかを判断する必要があります。一つ目の写像は $T(x) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix}$ であり、二つ目の写像は $T(x) = \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix}$ です。どちらの写像も $\mathbb{R}^3$ から $\mathbb{R}^2$ への写像です。

2. 解き方の手順

線形写像であるための条件は、以下の2つを満たすことです。

1. $T(u + v) = T(u) + T(v)$ (加法性)

2. $T(cu) = cT(u)$ (斉次性)

一つ目の写像 $T(x) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix}$ について、線形写像であることを確認します。

まず、加法性について確認します。

$u = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}$, $v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$ とすると、

$T(u+v) = T\left(\begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ u_3 + v_3 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} (u_1 + v_1) + (u_2 + v_2) \\ (u_2 + v_2) - (u_3 + v_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1 + u_2 + v_1 + v_2 \\ u_2 - u_3 + v_2 - v_3 \end{bmatrix}$

$T(u) = \begin{bmatrix} u_1 + u_2 \\ u_2 - u_3 \end{bmatrix}$

$T(v) = \begin{bmatrix} v_1 + v_2 \\ v_2 - v_3 \end{bmatrix}$

$T(u) + T(v) = \begin{bmatrix} u_1 + u_2 + v_1 + v_2 \\ u_2 - u_3 + v_2 - v_3 \end{bmatrix}$

したがって、$T(u+v) = T(u) + T(v)$ が成立します。

次に、斉次性について確認します。

$T(cu) = T\left(\begin{bmatrix} cu_1 \\ cu_2 \\ cu_3 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} cu_1 + cu_2 \\ cu_2 - cu_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(u_1 + u_2) \\ c(u_2 - u_3) \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} u_1 + u_2 \\ u_2 - u_3 \end{bmatrix} = cT(u)$

したがって、$T(cu) = cT(u)$ が成立します。

以上より、一つ目の写像は線形写像です。

二つ目の写像 $T(x) = \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix}$ について、線形写像であることを確認します。

まず、加法性について確認します。

$u = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}$, $v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$ とすると、

$T(u+v) = T\left(\begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ u_3 + v_3 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 3(u_1 + v_1) - (u_2 + v_2) + 2(u_3 + v_3) \\ (u_1 + v_1) + 3(u_2 + v_2) - (u_3 + v_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3u_1 - u_2 + 2u_3 + 3v_1 - v_2 + 2v_3 \\ u_1 + 3u_2 - u_3 + v_1 + 3v_2 - v_3 \end{bmatrix}$

$T(u) = \begin{bmatrix} 3u_1 - u_2 + 2u_3 \\ u_1 + 3u_2 - u_3 \end{bmatrix}$

$T(v) = \begin{bmatrix} 3v_1 - v_2 + 2v_3 \\ v_1 + 3v_2 - v_3 \end{bmatrix}$

$T(u) + T(v) = \begin{bmatrix} 3u_1 - u_2 + 2u_3 + 3v_1 - v_2 + 2v_3 \\ u_1 + 3u_2 - u_3 + v_1 + 3v_2 - v_3 \end{bmatrix}$

したがって、$T(u+v) = T(u) + T(v)$ が成立します。

次に、斉次性について確認します。

$T(cu) = T\left(\begin{bmatrix} cu_1 \\ cu_2 \\ cu_3 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 3(cu_1) - (cu_2) + 2(cu_3) \\ (cu_1) + 3(cu_2) - (cu_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(3u_1 - u_2 + 2u_3) \\ c(u_1 + 3u_2 - u_3) \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} 3u_1 - u_2 + 2u_3 \\ u_1 + 3u_2 - u_3 \end{bmatrix} = cT(u)$

したがって、$T(cu) = cT(u)$ が成立します。

以上より、二つ目の写像も線形写像です。

3. 最終的な答え

どちらの写像も線形写像です。