与えられた2つの線形変換 $T(x)$ の行列表現を求めます。 最初の変換は $T(x) = \begin{bmatrix} x_1+x_2 \\ x_2-x_3 \end{bmatrix}$ であり、$R^3$ から $R^2$ への写像です。 二番目の変換は $T(x) = \begin{bmatrix} 3x_1-x_2+2x_3 \\ x_1+3x_2-x_3 \end{bmatrix}$ であり、$R^3$ から $R^2$ への写像です。

1. 問題の内容

与えられた2つの線形変換 $T(x)$ の行列表現を求めます。

最初の変換は $T(x) = \begin{bmatrix} x_1+x_2 \\ x_2-x_3 \end{bmatrix}$ であり、$R^3$ から $R^2$ への写像です。

二番目の変換は $T(x) = \begin{bmatrix} 3x_1-x_2+2x_3 \\ x_1+3x_2-x_3 \end{bmatrix}$ であり、$R^3$ から $R^2$ への写像です。

2. 解き方の手順

線形変換 $T: R^n \to R^m$ の行列表現は、$R^n$ の標準基底ベクトル $e_1, e_2, \dots, e_n$ の像 $T(e_1), T(e_2), \dots, T(e_n)$ を列ベクトルとして並べたものです。

最初の変換 $T(x) = \begin{bmatrix} x_1+x_2 \\ x_2-x_3 \end{bmatrix}$ について考えます。

$R^3$ の標準基底は $e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ です。

それぞれの像は次のようになります。

$T(e_1) = \begin{bmatrix} 1+0 \\ 0-0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$T(e_2) = \begin{bmatrix} 0+1 \\ 1-0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$T(e_3) = \begin{bmatrix} 0+0 \\ 0-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix}$

したがって、この変換の行列表現は $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ です。

次の変換 $T(x) = \begin{bmatrix} 3x_1-x_2+2x_3 \\ x_1+3x_2-x_3 \end{bmatrix}$ について考えます。

$R^3$ の標準基底は $e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ です。

それぞれの像は次のようになります。

$T(e_1) = \begin{bmatrix} 3(1)-0+2(0) \\ 1+3(0)-0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

$T(e_2) = \begin{bmatrix} 3(0)-1+2(0) \\ 0+3(1)-0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}$

$T(e_3) = \begin{bmatrix} 3(0)-0+2(1) \\ 0+3(0)-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$

したがって、この変換の行列表現は $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{bmatrix}$ です。

3. 最終的な答え

最初の変換の行列表現は $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ です。

二番目の変換の行列表現は $\begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{bmatrix}$ です。