数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 6$, $a_{n+1} = 6a_n + 3^{n+1}$ を満たすとき、$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ で定義される数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

## (3) の問題を解く

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 6$, $a_{n+1} = 6a_n + 3^{n+1}$ を満たすとき、$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ で定義される数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} = 6a_n + 3^{n+1}$ の両辺を $3^{n+1}$ で割ります。

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{6a_n}{3^{n+1}} + \frac{3^{n+1}}{3^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = 2\frac{a_n}{3^n} + 1$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ であるから、上の式は

$b_{n+1} = 2b_n + 1$

と書き換えられます。

次に、$b_{n+1} + 1 = 2(b_n + 1)$ と変形します。

これは、数列 $\{b_n + 1\}$ が公比2の等比数列であることを示しています。

初項 $b_1 + 1$ を求めます。$b_1 = \frac{a_1}{3^1} = \frac{6}{3} = 2$ より、 $b_1 + 1 = 2 + 1 = 3$ です。

したがって、$b_n + 1 = 3 \cdot 2^{n-1}$ となります。

これより、$b_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$ となります。

3. 最終的な答え

$b_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$

## (4) の問題を解く

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = -1$, $na_{n+1} = (n+1)a_n$ を満たすとき、$b_n = \frac{a_n}{n}$ で定義される数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

$na_{n+1} = (n+1)a_n$ を $n(n+1)$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n}$

$b_n = \frac{a_n}{n}$ より、これは $b_{n+1} = b_n$ を意味します。

したがって、数列 $\{b_n\}$ は定数列です。

初項 $b_1$ を求めます。 $b_1 = \frac{a_1}{1} = \frac{-1}{1} = -1$ です。

したがって、$b_n = -1$ です。

3. 最終的な答え

$b_n = -1$

## (5) の問題を解く

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + n - 1$ を満たすとき、$b_n = a_{n+1} - a_n$ で定義される数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

$a_{n+1} = 2a_n + n - 1$ より、$a_{n+2} = 2a_{n+1} + (n+1) - 1 = 2a_{n+1} + n$ です。

したがって、$b_n = a_{n+1} - a_n$ であり、$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1}$ です。

$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1} = (2a_{n+1} + n) - a_{n+1} = a_{n+1} + n = (2a_n + n - 1) + n = 2a_n - a_n + 2n - 1 = a_{n+1} - a_n + n$

より、$b_{n+1} = b_n + n$ となります。

これは、$b_{n+1} - b_n = n$ を意味します。

$b_n$ の階差数列が $n$ なので、$n \ge 2$ のとき

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = b_1 + \frac{(n-1)n}{2}$

ここで、$b_1 = a_2 - a_1$ を求めます。$a_2 = 2a_1 + 1 - 1 = 2(1) + 0 = 2$ です。

したがって、$b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$ です。

よって、$b_n = 1 + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2 - n + 2}{2}$ となります。

これは $n=1$ のときも成り立ちます。

3. 最終的な答え

$b_n = \frac{n^2 - n + 2}{2}$