与えられた数式 $(\sqrt{2})^3 \times (2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} \div 2^{-\frac{3}{2}}$ を計算し、結果を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数式 $(\sqrt{2})^3 \times (2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} \div 2^{-\frac{3}{2}}$ を計算し、結果を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を2の累乗の形で表します。

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ なので、 $(\sqrt{2})^3 = (2^{\frac{1}{2}})^3 = 2^{\frac{3}{2}}$ となります。

$2\sqrt{2} = 2 \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$ なので、 $(2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} = (2^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{4}}$ となります。

$2^{-\frac{3}{2}}$ はそのままです。

したがって、与えられた式は

$2^{\frac{3}{2}} \times 2^{\frac{3}{4}} \div 2^{-\frac{3}{2}}$

となります。

次に、積の法則と商の法則を使って計算します。

$2^{\frac{3}{2}} \times 2^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{2} + \frac{3}{4}} = 2^{\frac{6}{4} + \frac{3}{4}} = 2^{\frac{9}{4}}$

となります。

そして、

$2^{\frac{9}{4}} \div 2^{-\frac{3}{2}} = 2^{\frac{9}{4} - (-\frac{3}{2})} = 2^{\frac{9}{4} + \frac{6}{4}} = 2^{\frac{15}{4}}$

となります。

3. 最終的な答え

$2^{\frac{15}{4}}$