ベクトル空間 $V$ の基 $\\{u_1, u_2, u_3\\}$ が与えられたとき、以下のベクトルの組 $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ が $V$ の基となるかどうかを調べます。 (a) $v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3$, $v_2 = u_1 + 2u_2 + u_3$, $v_3 = u_1 + u_2 + u_3$ (b) $v_1 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_2 = -u_1 + 3u_2 - u_3$, $v_3 = u_1 + u_3$

1. 問題の内容

ベクトル空間 $V$ の基 $\\{u_1, u_2, u_3\\}$ が与えられたとき、以下のベクトルの組 $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ が $V$ の基となるかどうかを調べます。

(a) $v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3$, $v_2 = u_1 + 2u_2 + u_3$, $v_3 = u_1 + u_2 + u_3$

(b) $v_1 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_2 = -u_1 + 3u_2 - u_3$, $v_3 = u_1 + u_3$

2. 解き方の手順

ベクトル $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ が $V$ の基となるための必要十分条件は、これらのベクトルが線形独立であることです。つまり、$a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 = 0$ となるスカラー $a_1$, $a_2$, $a_3$ がすべて $0$ であることを示す必要があります。

(a)

$a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 = 0$ を $u_1, u_2, u_3$ で表すと

$a_1(2u_1 + u_2 - u_3) + a_2(u_1 + 2u_2 + u_3) + a_3(u_1 + u_2 + u_3) = 0$

$(2a_1 + a_2 + a_3)u_1 + (a_1 + 2a_2 + a_3)u_2 + (-a_1 + a_2 + a_3)u_3 = 0$

$u_1, u_2, u_3$ は線形独立なので、以下の連立方程式が得られます。

$2a_1 + a_2 + a_3 = 0$

$a_1 + 2a_2 + a_3 = 0$

$-a_1 + a_2 + a_3 = 0$

この連立方程式を行列で表すと

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

係数行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(2-1) - 1(1+1) + 1(1+2) = 2 - 2 + 3 = 3$

行列式が $0$ でないため、この連立方程式の解は $a_1 = a_2 = a_3 = 0$ のみです。したがって、$v_1, v_2, v_3$ は線形独立であり、$V$ の基となります。

(b)

$a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 = 0$ を $u_1, u_2, u_3$ で表すと

$a_1(u_1 - u_2 + u_3) + a_2(-u_1 + 3u_2 - u_3) + a_3(u_1 + u_3) = 0$

$(a_1 - a_2 + a_3)u_1 + (-a_1 + 3a_2)u_2 + (a_1 - a_2 + a_3)u_3 = 0$

$u_1, u_2, u_3$ は線形独立なので、以下の連立方程式が得られます。

$a_1 - a_2 + a_3 = 0$

$-a_1 + 3a_2 = 0$

$a_1 - a_2 + a_3 = 0$

この連立方程式を行列で表すと

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

係数行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(3-0) - (-1)(-1-0) + 1(1-3) = 3 - 1 - 2 = 0$

行列式が $0$ なので、$a_1 = a_2 = a_3 = 0$ 以外の解が存在します。

例えば、$a_2=1$ とすると $a_1 = 3$ であり、$3-1+a_3=0$ より $a_3 = -2$. よって $3v_1 + v_2 -2v_3 = 0$.

したがって、$v_1, v_2, v_3$ は線形従属であり、$V$ の基とはなりません。

3. 最終的な答え

(a) $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ は $V$ の基となる。

(b) $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ は $V$ の基とならない。