数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、$S_n = 2a_n - n$ で表される。 (1) $a_{n+1}$ を $a_n$ を用いて表せ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、$S_n = 2a_n - n$ で表される。

(1) $a_{n+1}$ を $a_n$ を用いて表せ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $S_n = 2a_n - n$ であるから、$S_{n+1} = 2a_{n+1} - (n+1)$ となる。

また、$S_{n+1} = S_n + a_{n+1}$ であるから、

$S_n + a_{n+1} = 2a_{n+1} - (n+1)$

$S_n = a_{n+1} - (n+1)$

$2a_n - n = a_{n+1} - (n+1)$

$a_{n+1} = 2a_n - n + (n+1)$

$a_{n+1} = 2a_n + 1$

(2) $a_{n+1} = 2a_n + 1$ より、

$a_1 = S_1 = 2a_1 - 1$

$a_1 = 1$

$a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$

$b_n = a_n + 1$ とおくと、 $b_{n+1} = 2b_n$ となる。

$b_1 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$

したがって、数列 $\{b_n\}$ は初項2、公比2の等比数列であるから、

$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

$a_n + 1 = 2^n$

$a_n = 2^n - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_{n+1} = 2a_n + 1$

(2) $a_n = 2^n - 1$