与えられた2次不等式 $3x^2 + 5x - 2 \le 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次不等式 $3x^2 + 5x - 2 \le 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次不等式の左辺を因数分解します。

$3x^2 + 5x - 2 = (3x - 1)(x + 2)$

したがって、不等式は

$(3x - 1)(x + 2) \le 0$

となります。

次に、$3x - 1 = 0$ と $x + 2 = 0$ を解きます。

$3x - 1 = 0$ より $x = \frac{1}{3}$

$x + 2 = 0$ より $x = -2$

この2つの値を数直線上にプロットします。

数直線は$x = -2$と$x = \frac{1}{3}$で3つの区間に分割されます。

区間1: $x < -2$

区間2: $-2 < x < \frac{1}{3}$

区間3: $x > \frac{1}{3}$

それぞれの区間で$(3x - 1)(x + 2)$の符号を調べます。

区間1 ($x < -2$): $3x - 1 < 0$ かつ $x + 2 < 0$ なので、$(3x - 1)(x + 2) > 0$

区間2 ($-2 < x < \frac{1}{3}$): $3x - 1 < 0$ かつ $x + 2 > 0$ なので、$(3x - 1)(x + 2) < 0$

区間3 ($x > \frac{1}{3}$): $3x - 1 > 0$ かつ $x + 2 > 0$ なので、$(3x - 1)(x + 2) > 0$

不等式 $(3x - 1)(x + 2) \le 0$ を満たすのは、区間2 ($-2 < x < \frac{1}{3}$)と、$3x-1 = 0$ と $x+2 = 0$ となる点です。

したがって、解は $-2 \le x \le \frac{1}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 \le x \le \frac{1}{3}$