関数 $y = \frac{bx+1}{x-a}$ ($a>0$, $b>0$) の定義域が $\{x | -a \le x \le 0\}$ であり、値域が $\{y | -1 \le y \le 1\}$ であるとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{bx+1}{x-a}$ ($a>0$, $b>0$) の定義域が $\{x | -a \le x \le 0\}$ であり、値域が $\{y | -1 \le y \le 1\}$ であるとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $x$ について解く。

$y = \frac{bx+1}{x-a}$

$y(x-a) = bx+1$

$yx - ya = bx + 1$

$yx - bx = ya + 1$

$(y-b)x = ya + 1$

$x = \frac{ya+1}{y-b}$

定義域が $-a \le x \le 0$ なので、$x=-a$ と $x=0$ のときの $y$ の値を考える。

$x = -a$ のとき、 $y = \frac{-ab+1}{-a-a} = \frac{-ab+1}{-2a}$

$x = 0$ のとき、 $y = \frac{1}{-a} = -\frac{1}{a}$

値域が $-1 \le y \le 1$ であることから、 $-\frac{1}{a}$ は $-1$ か $1$ のどちらかである。$a>0$ より、 $-\frac{1}{a} = -1$ であり、$a=1$。

$a=1$ を $x = \frac{ya+1}{y-b}$ に代入すると、$x = \frac{y+1}{y-b}$。

$-a \le x \le 0$ のとき $-1 \le y \le 1$。

$x = -a = -1$ のとき $y = \pm 1$ なので、 $-1 = \frac{y+1}{y-b}$ に $y=1$ または $y=-1$ を代入する。

$y = 1$ を代入すると、 $-1 = \frac{2}{1-b}$ より $b = 3$。

$y = -1$ を代入すると、 $-1 = \frac{0}{-1-b}$ となり、これは常に成り立つ。

このとき、 $y=1$ に対応する $x$ の値は $0$ であるはず。したがって、

$0 = \frac{1\cdot a + 1}{1 - b}$ より、$a=-1$ となり、$a > 0$ に矛盾するので、$y = 1$ に対応する $x$ の値は $-1$ である。

$-1 = \frac{1 + 1}{1 - b}$ より、 $-1 = \frac{2}{1 - b}$ となり、 $-1+b=2$ より $b=3$。

したがって、$a=1$、$b=3$。

3. 最終的な答え

$a=1$, $b=3$