直角双曲線 $y = \frac{ax+1}{bx+2}$ の漸近線が $x=3$, $y=2$ であるとき、$a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

直角双曲線 $y = \frac{ax+1}{bx+2}$ の漸近線が $x=3$, $y=2$ であるとき、$a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、直角双曲線 $y = \frac{ax+1}{bx+2}$ の漸近線を求める。

漸近線は、分母を0にする $x$ の値と、極限 $\lim_{x \to \infty} y$ で求められる $y$ の値である。

分母を0にする $x$ の値は $bx+2=0$ より、

$x = -\frac{2}{b}$

これが $x=3$ であるから、

$-\frac{2}{b} = 3$

$b = -\frac{2}{3}$

次に、$\lim_{x \to \infty} y$ を求める。

$y = \frac{ax+1}{bx+2} = \frac{a + \frac{1}{x}}{b + \frac{2}{x}}$

$\lim_{x \to \infty} y = \frac{a}{b}$

これが $y=2$ であるから、

$\frac{a}{b} = 2$

$b = -\frac{2}{3}$ を代入して、

$\frac{a}{-\frac{2}{3}} = 2$

$a = 2 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}$

したがって、$a = -\frac{4}{3}, b = -\frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{4}{3}$

$b = -\frac{2}{3}$