2次方程式 $3x^2 + 6x + m = 0$ について、以下の2つの場合に定数 $m$ の値と2つの解を求めます。 (1) 1つの解が他の解の3倍である。 (2) 2つの解の比が2:3である。

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 + 6x + m = 0$ について、以下の2つの場合に定数 $m$ の値と2つの解を求めます。

(1) 1つの解が他の解の3倍である。

(2) 2つの解の比が2:3である。

2. 解き方の手順

(1) 1つの解が他の解の3倍である場合

2つの解を $\alpha, 3\alpha$ とおきます。解と係数の関係から、

$$\alpha + 3\alpha = -\frac{6}{3}$$

$$\alpha \cdot 3\alpha = \frac{m}{3}$$

これらの式を整理すると、

$$4\alpha = -2$$

$$3\alpha^2 = \frac{m}{3}$$

最初の式から $\alpha = -\frac{1}{2}$ が得られます。

これを2番目の式に代入すると、

$$3\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{m}{3}$$

$$3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{m}{3}$$

$$\frac{3}{4} = \frac{m}{3}$$

$$m = \frac{9}{4}$$

したがって、2つの解は $\alpha = -\frac{1}{2}$ と $3\alpha = -\frac{3}{2}$ です。

(2) 2つの解の比が2:3である場合

2つの解を $2\beta, 3\beta$ とおきます。解と係数の関係から、

$$2\beta + 3\beta = -\frac{6}{3}$$

$$2\beta \cdot 3\beta = \frac{m}{3}$$

これらの式を整理すると、

$$5\beta = -2$$

$$6\beta^2 = \frac{m}{3}$$

最初の式から $\beta = -\frac{2}{5}$ が得られます。

これを2番目の式に代入すると、

$$6\left(-\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{m}{3}$$

$$6 \cdot \frac{4}{25} = \frac{m}{3}$$

$$\frac{24}{25} = \frac{m}{3}$$

$$m = \frac{72}{25}$$

したがって、2つの解は $2\beta = -\frac{4}{5}$ と $3\beta = -\frac{6}{5}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $m = \frac{9}{4}$ のとき、2つの解は $x = -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}$

(2) $m = \frac{72}{25}$ のとき、2つの解は $x = -\frac{4}{5}, -\frac{6}{5}$