数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、$S_n = n^2 - n$ で表されるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、$S_n = n^2 - n$ で表されるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$n \ge 2$ のとき、$a_n$ は次のように表すことができます。

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$S_n = n^2 - n$ であり、$S_{n-1} = (n-1)^2 - (n-1)$ なので、

$a_n = (n^2 - n) - ((n-1)^2 - (n-1))$

$= n^2 - n - (n^2 - 2n + 1 - n + 1)$

$= n^2 - n - (n^2 - 3n + 2)$

$= n^2 - n - n^2 + 3n - 2$

$= 2n - 2$

したがって、$n \ge 2$ のとき、$a_n = 2n - 2$ となります。

次に、$n = 1$ のときを考えます。$a_1 = S_1$ なので、

$a_1 = S_1 = 1^2 - 1 = 0$

ここで、$a_n = 2n - 2$ に $n = 1$ を代入すると、$a_1 = 2(1) - 2 = 0$ となり、$a_1$ の値と一致します。

したがって、すべての $n$ に対して、$a_n = 2n - 2$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n - 2$