$\log_{10}2 = a$、$\log_{10}3 = b$が与えられたとき、以下の対数を$a$と$b$で表す。 * $\log_{10}50$ * $\log_{10}24$ * $\log_{3}5$ * $\log_{10}75$

1. 問題の内容

$\log_{10}2 = a$、$\log_{10}3 = b$が与えられたとき、以下の対数を$a$と$b$で表す。

* $\log_{10}50$

* $\log_{10}24$

* $\log_{3}5$

* $\log_{10}75$

2. 解き方の手順

* $\log_{10}50$:

$50 = 5 \times 10$なので、$50 = \frac{100}{2} = \frac{10^2}{2}$と変形できます。

$\log_{10}50 = \log_{10}(\frac{10^2}{2}) = \log_{10}10^2 - \log_{10}2 = 2 - \log_{10}2 = 2 - a$

* $\log_{10}24$:

$24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3$なので、

$\log_{10}24 = \log_{10}(2^3 \times 3) = \log_{10}2^3 + \log_{10}3 = 3\log_{10}2 + \log_{10}3 = 3a + b$

* $\log_{3}5$:

$\log_{3}5 = \frac{\log_{10}5}{\log_{10}3}$と底の変換を行います。

$\log_{10}5 = \log_{10}(\frac{10}{2}) = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - a$

したがって、

$\log_{3}5 = \frac{1-a}{b}$

* $\log_{10}75$:

$75 = 25 \times 3 = 5^2 \times 3 = (\frac{10}{2})^2 \times 3 = \frac{10^2}{2^2} \times 3$

$\log_{10}75 = \log_{10}(\frac{10^2}{2^2} \times 3) = \log_{10}10^2 - \log_{10}2^2 + \log_{10}3 = 2 - 2\log_{10}2 + \log_{10}3 = 2 - 2a + b$

3. 最終的な答え

* $\log_{10}50 = 2 - a$

* $\log_{10}24 = 3a + b$

* $\log_{3}5 = \frac{1-a}{b}$

* $\log_{10}75 = 2 - 2a + b$