問題4は、与えられた写像が線形写像であるかどうかを判定する問題です。 問題5は、$T(x) = Ax$ で定義される線形写像 $T: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^4$ が与えられたときに、 (a) null(T) と Ker(T) の1組の基 (b) rank(T) と Im(T) の1組の基 を求める問題です。ここで、$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ です。

1. 問題の内容

問題4は、与えられた写像が線形写像であるかどうかを判定する問題です。

問題5は、$T(x) = Ax$ で定義される線形写像 $T: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^4$ が与えられたときに、

(a) null(T) と Ker(T) の1組の基

(b) rank(T) と Im(T) の1組の基

を求める問題です。ここで、$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ です。

2. 解き方の手順

問題4：線形写像の定義を満たすかどうかを判定します。線形写像の定義は、$T(x+y) = T(x) + T(y)$ と $T(cx) = cT(x)$ を満たすことです。言い換えれば、$T(0) = 0$ を満たし、$x_i$に関する一次式で表されている必要があります。

(a) $T(x) = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ x_1 - 5x_2 \end{bmatrix}$ は、$x_1$と$x_2$に関する一次式であり、$T(0) = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ を満たすので、線形写像です。

(b) $T(x) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + 2 \\ 2x_1 + 3x_2 - 1 \end{bmatrix}$ は、$T(0) = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ であるので、線形写像ではありません。

(c) $T(x) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix}$ は、$x_1, x_2, x_3$に関する一次式であり、$T(0) = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ を満たすので、線形写像です。

(d) $T(x) = \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix}$ は、$x_1, x_2, x_3$に関する一次式であり、$T(0) = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ を満たすので、線形写像です。

問題5：

(a) null(T) と Ker(T) の1組の基を求めます。これは $Ax = 0$ を満たす $x$ の集合、すなわち連立一次方程式 $Ax = 0$ の解空間の基を求めることに相当します。

$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ に対して、行基本変形を行います。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

したがって、$x_1 = -3x_3 - 2x_4$, $x_2 = -x_3 - x_4$, $x_5 = 0$ です。$x_3$ と $x_4$ は自由変数です。

よって、Ker(T) の基は $\begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ となります。

(b) rank(T) と Im(T) の1組の基を求めます。

rank(T) は行列 $A$ の階数に等しく、行基本変形の結果から rank(T) = 3 です。

Im(T) の基は行列 $A$ の線形独立な列ベクトルから構成されます。行基本変形の結果から、第1列、第2列、第5列が線形独立であることがわかります。

したがって、Im(T) の基は $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

問題4：

(a) 線形写像である。

(b) 線形写像ではない。

(c) 線形写像である。

(d) 線形写像である。

問題5：

(a) null(T) = Ker(T) の基： $\begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

(b) rank(T) = 3

Im(T) の基： $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$