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与えられた写像が線形写像であるかどうかを判定します。線形写像とは、スカラー倍と和を保存する写像のことです。すなわち、$T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})$ と $T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$ を満たす写像です。

代数学線形代数線形写像ベクトル空間
2025/6/27

1. 問題の内容

与えられた写像が線形写像であるかどうかを判定します。線形写像とは、スカラー倍と和を保存する写像のことです。すなわち、T(cx)=cT(x)T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x}) と T(x+y)=T(x)+T(y)T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) を満たす写像です。

2. 解き方の手順

(a) T(x)=[2x1+x2x1−5x2]T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ x_1 - 5x_2 \end{bmatrix} の場合:
T(cx)=T(cx1,cx2)=[2(cx1)+(cx2)(cx1)−5(cx2)]=[c(2x1+x2)c(x1−5x2)]=c[2x1+x2x1−5x2]=cT(x)T(c\mathbf{x}) = T(cx_1, cx_2) = \begin{bmatrix} 2(cx_1) + (cx_2) \\ (cx_1) - 5(cx_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(2x_1 + x_2) \\ c(x_1 - 5x_2) \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ x_1 - 5x_2 \end{bmatrix} = cT(\mathbf{x})
T(x+y)=T(x1+y1,x2+y2)=[2(x1+y1)+(x2+y2)(x1+y1)−5(x2+y2)]=[(2x1+x2)+(2y1+y2)(x1−5x2)+(y1−5y2)]=[2x1+x2x1−5x2]+[2y1+y2y1−5y2]=T(x)+T(y)T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = T(x_1 + y_1, x_2 + y_2) = \begin{bmatrix} 2(x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) \\ (x_1 + y_1) - 5(x_2 + y_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2x_1 + x_2) + (2y_1 + y_2) \\ (x_1 - 5x_2) + (y_1 - 5y_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ x_1 - 5x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2y_1 + y_2 \\ y_1 - 5y_2 \end{bmatrix} = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})
したがって、線形写像です。
(b) T(x)=[x1+x2+22x1+3x2−1]T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + 2 \\ 2x_1 + 3x_2 - 1 \end{bmatrix} の場合:
T(0)=T(0,0)=[0+0+22(0)+3(0)−1]=[2−1]≠[00]T(\mathbf{0}) = T(0, 0) = \begin{bmatrix} 0 + 0 + 2 \\ 2(0) + 3(0) - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
線形写像の必要条件である T(0)=0T(\mathbf{0}) = \mathbf{0} を満たさないため、線形写像ではありません。
(c) T(x)=[x1+x2x2−x3]T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix} の場合:
T(cx)=T(cx1,cx2,cx3)=[cx1+cx2cx2−cx3]=[c(x1+x2)c(x2−x3)]=c[x1+x2x2−x3]=cT(x)T(c\mathbf{x}) = T(cx_1, cx_2, cx_3) = \begin{bmatrix} cx_1 + cx_2 \\ cx_2 - cx_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(x_1 + x_2) \\ c(x_2 - x_3) \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix} = cT(\mathbf{x})
T(x+y)=T(x1+y1,x2+y2,x3+y3)=[(x1+y1)+(x2+y2)(x2+y2)−(x3+y3)]=[(x1+x2)+(y1+y2)(x2−x3)+(y2−y3)]=[x1+x2x2−x3]+[y1+y2y2−y3]=T(x)+T(y)T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = T(x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3) = \begin{bmatrix} (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) \\ (x_2 + y_2) - (x_3 + y_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) \\ (x_2 - x_3) + (y_2 - y_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y_1 + y_2 \\ y_2 - y_3 \end{bmatrix} = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})
したがって、線形写像です。
(d) T(x)=[3x1−x2+2x3x1+3x2−x3]T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix} の場合:
T(cx)=T(cx1,cx2,cx3)=[3(cx1)−(cx2)+2(cx3)(cx1)+3(cx2)−(cx3)]=[c(3x1−x2+2x3)c(x1+3x2−x3)]=c[3x1−x2+2x3x1+3x2−x3]=cT(x)T(c\mathbf{x}) = T(cx_1, cx_2, cx_3) = \begin{bmatrix} 3(cx_1) - (cx_2) + 2(cx_3) \\ (cx_1) + 3(cx_2) - (cx_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(3x_1 - x_2 + 2x_3) \\ c(x_1 + 3x_2 - x_3) \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix} = cT(\mathbf{x})
T(x+y)=T(x1+y1,x2+y2,x3+y3)=[3(x1+y1)−(x2+y2)+2(x3+y3)(x1+y1)+3(x2+y2)−(x3+y3)]=[(3x1−x2+2x3)+(3y1−y2+2y3)(x1+3x2−x3)+(y1+3y2−y3)]=[3x1−x2+2x3x1+3x2−x3]+[3y1−y2+2y3y1+3y2−y3]=T(x)+T(y)T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = T(x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3) = \begin{bmatrix} 3(x_1 + y_1) - (x_2 + y_2) + 2(x_3 + y_3) \\ (x_1 + y_1) + 3(x_2 + y_2) - (x_3 + y_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3x_1 - x_2 + 2x_3) + (3y_1 - y_2 + 2y_3) \\ (x_1 + 3x_2 - x_3) + (y_1 + 3y_2 - y_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3y_1 - y_2 + 2y_3 \\ y_1 + 3y_2 - y_3 \end{bmatrix} = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})
したがって、線形写像です。

3. 最終的な答え

(a) 線形写像である。
(b) 線形写像ではない。
(c) 線形写像である。
(d) 線形写像である。

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