画像に書かれている3つの対数関数を計算する問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。 (2) $\log_{\sqrt{3}} 81$ (3) $\log_2 20 - \log_2 5$ (4) $\log_2 1 + \log_e 3T - \log_e T$

1. 問題の内容

画像に書かれている3つの対数関数を計算する問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。

(2) $\log_{\sqrt{3}} 81$

(3) $\log_2 20 - \log_2 5$

(4) $\log_2 1 + \log_e 3T - \log_e T$

2. 解き方の手順

(2) $\log_{\sqrt{3}} 81$

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ であることと、$81 = 3^4$ であることを利用します。

$\log_{\sqrt{3}} 81 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^4$

対数の底の変換公式 $\log_{a^b} x^c = \frac{c}{b} \log_a x$ を用いると、

$\log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^4 = \frac{4}{\frac{1}{2}} \log_3 3 = 8 \cdot 1 = 8$

(3) $\log_2 20 - \log_2 5$

対数の性質 $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ を用いると、

$\log_2 20 - \log_2 5 = \log_2 \frac{20}{5} = \log_2 4$

$4 = 2^2$ であるから、

$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$

(4) $\log_2 1 + \log_e 3T - \log_e T$

$\log_2 1 = 0$ であることと、対数の性質 $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ を用いると、

$\log_2 1 + \log_e 3T - \log_e T = 0 + \log_e \frac{3T}{T} = \log_e 3$

3. 最終的な答え

(2) 8

(3) 2

(4) $\log_e 3$ (または $\ln 3$)