問題4では、与えられた写像が線形写像かどうかを判定します。問題5では、与えられた行列で表現される線形写像 $T: \mathbb{R}^5 \rightarrow \mathbb{R}^4$ について、null(T) (核) と Ker(T) (零空間) の基、rank(T) (階数) と Im(T) (像) の基を求めます。

1. 問題の内容

問題4では、与えられた写像が線形写像かどうかを判定します。問題5では、与えられた行列で表現される線形写像 $T: \mathbb{R}^5 \rightarrow \mathbb{R}^4$ について、null(T) (核) と Ker(T) (零空間) の基、rank(T) (階数) と Im(T) (像) の基を求めます。

2. 解き方の手順

問題4: 線形写像の判定

線形写像 $T$ は、任意のベクトル $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ とスカラー $c$ に対して以下の性質を満たします。

* $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$ (加法性)

* $T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})$ (斉次性)

与えられた写像が線形写像であるかどうかを判定するには、これらの性質が満たされているかどうかを確認します。

(a) $T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ x_1 - 5x_2 \end{bmatrix}$

これは線形写像です。なぜなら、

$T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \begin{bmatrix} 2(x_1+y_1) + (x_2+y_2) \\ (x_1+y_1) - 5(x_2+y_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ x_1 - 5x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2y_1 + y_2 \\ y_1 - 5y_2 \end{bmatrix} = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$

$T(c\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 2(cx_1) + (cx_2) \\ (cx_1) - 5(cx_2) \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ x_1 - 5x_2 \end{bmatrix} = cT(\mathbf{x})$

が成立するからです。

(b) $T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + 2 \\ 2x_1 + 3x_2 - 1 \end{bmatrix}$

これは線形写像ではありません。なぜなら、原点 $T(\mathbf{0}) = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ であり、線形写像は原点を原点に移す必要があるからです。

(c) $T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix}$

これは線形写像です。なぜなら、

$T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \begin{bmatrix} (x_1+y_1) + (x_2+y_2) \\ (x_2+y_2) - (x_3+y_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y_1 + y_2 \\ y_2 - y_3 \end{bmatrix} = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$

$T(c\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} (cx_1) + (cx_2) \\ (cx_2) - (cx_3) \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix} = cT(\mathbf{x})$

が成立するからです。

(d) $T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix}$

これは線形写像です。なぜなら、

$T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \begin{bmatrix} 3(x_1+y_1) - (x_2+y_2) + 2(x_3+y_3) \\ (x_1+y_1) + 3(x_2+y_2) - (x_3+y_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3y_1 - y_2 + 2y_3 \\ y_1 + 3y_2 - y_3 \end{bmatrix} = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$

$T(c\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 3(cx_1) - (cx_2) + 2(cx_3) \\ (cx_1) + 3(cx_2) - (cx_3) \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix} = cT(\mathbf{x})$

が成立するからです。

問題5: 核 (Ker) と像 (Im) の基の計算

与えられた行列を $A$ とします。

$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & -2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

(a) Ker(T) の基

$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ を満たす $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^5$ を求めます。まず、行列を簡約化します。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & -2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

簡約化された行列から、

$x_1 - 2x_2 - x_4 = 0$

$x_3 + x_4 = 0$

$x_5 = 0$

したがって、$x_1 = 2x_2 + x_4$, $x_3 = -x_4$, $x_5 = 0$.

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2x_2 + x_4 \\ x_2 \\ -x_4 \\ x_4 \\ 0 \end{bmatrix} = x_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

Ker(T) の基は $\left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$.

null(T) = 2

(b) Im(T) の基

Im(T) の基は、行列 $A$ の線形独立な列ベクトルから構成されます。簡約化された行列から、1列目, 3列目, 5列目が線形独立であることがわかります。したがって、$A$ の対応する列ベクトルはIm(T) の基を構成します。

Im(T) の基は $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$.

rank(T) = 3

3. 最終的な答え

問題4:

(a) 線形写像

(b) 線形写像ではない

(c) 線形写像

(d) 線形写像

問題5:

(a) Ker(T) の基: $\left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$

(b) Im(T) の基: $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$

rank(T) = 3

null(T) = 2