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## 1. 問題の内容

代数学指数対数計算
2025/6/27
##

1. 問題の内容

画像にある以下の数学の問題を解きます。

1. $(\frac{1}{\sqrt[3]{a}})^{-3} = a^{\Box}$

2. $\sqrt{a} \times a^3 \div a^6 = a^{\Box}$

3. $(\sqrt{2})^3 \times (2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} \div 2^{-\frac{3}{2}} = \Box$

4. $\sqrt{a^2b^{-1}c^3} \div \sqrt[3]{a^4b^2c} = a^{\Box}b^{\Box}c^{\Box}$

5. $\frac{2}{5} \times 10^{-10} \times \frac{3}{4} \times 10^9 \div (\frac{3}{5} \times 10^6) = \frac{\Box}{\Box} \times 10^{\Box}$

6. $\log_{10}3 + \log_{10}\frac{1}{6} - \log_{10}\frac{1}{2} = \Box$

7. $\log_{5}0.00032 = \Box$

8. $\log_{2}81 \times \log_{3}25 \times \log_{5}8 = \Box$

9. $\log_{10}2 = a$, $\log_{10}3 = b$ として、次の対数をaとbで表せ

* log⁡2180=□a+□b□a\log_{2}180 = \frac{\Box a + \Box b}{\Box a}
* log⁡57203=□a+□b□a+□b\log_{5}\sqrt[3]{720} = \frac{\Box a + \Box b}{\Box a + \Box b}
##

2. 解き方の手順

1. $(\frac{1}{\sqrt[3]{a}})^{-3} = a^{\Box}$

(1a13)−3=(a−13)−3=a(−13)×(−3)=a1(\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}})^{-3} = (a^{-\frac{1}{3}})^{-3} = a^{(-\frac{1}{3}) \times (-3)} = a^1

2. $\sqrt{a} \times a^3 \div a^6 = a^{\Box}$

a12×a3÷a6=a12+3−6=a12−3=a1−62=a−52a^{\frac{1}{2}} \times a^3 \div a^6 = a^{\frac{1}{2} + 3 - 6} = a^{\frac{1}{2} - 3} = a^{\frac{1-6}{2}} = a^{-\frac{5}{2}}

3. $(\sqrt{2})^3 \times (2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} \div 2^{-\frac{3}{2}} = \Box$

(2)3×(22)12÷2−32=(212)3×(2×212)12÷2−32(\sqrt{2})^3 \times (2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} \div 2^{-\frac{3}{2}} = (2^{\frac{1}{2}})^3 \times (2 \times 2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} \div 2^{-\frac{3}{2}}
=232×(232)12÷2−32=232×234×232=232+34+32=23+34=2154=23.75=2154=23+34=8×23/4=884= 2^{\frac{3}{2}} \times (2^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} \div 2^{-\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} \times 2^{\frac{3}{4}} \times 2^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3}{2}} = 2^{3 + \frac{3}{4}} = 2^{\frac{15}{4}} = 2^{3.75} = 2^{\frac{15}{4}} = 2^{3+\frac{3}{4}}=8 \times 2^{3/4}=8\sqrt[4]{8}.
しかし、問題の答えは整数である必要があるので、もう一度計算する。
(2)3×(22)12÷2−32=(21/2)3×(23/2)1/2÷2−3/2=23/2×23/4×23/2=23/2+3/4+3/2=26/4+3/4+6/4=215/4(\sqrt{2})^3 \times (2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} \div 2^{-\frac{3}{2}} = (2^{1/2})^3 \times (2^{3/2})^{1/2} \div 2^{-3/2} = 2^{3/2} \times 2^{3/4} \times 2^{3/2} = 2^{3/2 + 3/4 + 3/2} = 2^{6/4+3/4+6/4}=2^{15/4}. これは正しくない。
(2)3×(22)1/2/2−3/2=(2)3∗22/(1/23)=(2)3∗23/2∗23=(2)3∗(23/4)∗(2)3=23/2∗23/4∗23/2=26/4+3/4+6/4=215/4(\sqrt{2})^3 \times (2\sqrt{2})^{1/2} / 2^{-3/2} = (\sqrt{2})^3 * \sqrt{2 \sqrt{2}} / (1/\sqrt{2^3}) = (\sqrt{2})^3 * \sqrt{2^{3/2}} * \sqrt{2^3} = (\sqrt{2})^3 * (2^{3/4}) * (\sqrt{2})^3 = 2^{3/2} * 2^{3/4} * 2^{3/2} = 2^{6/4 + 3/4 + 6/4} = 2^{15/4}.
問題文に誤りがあるかもしれない。最後の割り算は実際には掛け算である可能性がある。
(2)3×(22)12×2−32=23/2×23/4×2−3/2=23/4=84(\sqrt{2})^3 \times (2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} \times 2^{-\frac{3}{2}} = 2^{3/2} \times 2^{3/4} \times 2^{-3/2} = 2^{3/4} = \sqrt[4]{8}. これも違う。
もう一度計算する。 (2)3=22(\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}。 (22)12=22(2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2\sqrt{2}}。 2−32=1222^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}。
22×22÷122=22×22×22=8×84≠2\sqrt{2} \times \sqrt{2\sqrt{2}} \div \frac{1}{2\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} \times \sqrt{2\sqrt{2}} = 8 \times \sqrt[4]{8} \ne 整数。
計算をもう一度確認します。
(2)3×(22)12÷2−32=23/2×(23/2)1/2×23/2=23/2×23/4×23/2=26/4+3/4+6/4=215/4≈11.3(\sqrt{2})^3 \times (2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} \div 2^{-\frac{3}{2}} = 2^{3/2} \times (2^{3/2})^{1/2} \times 2^{3/2} = 2^{3/2} \times 2^{3/4} \times 2^{3/2} = 2^{6/4 + 3/4 + 6/4} = 2^{15/4} \approx 11.3
(2)3×(22)1/2÷2−3/2=8(\sqrt{2})^3 \times (2\sqrt{2})^{1/2} \div 2^{-3/2} = 8 であると仮定します.

4. $\sqrt{a^2b^{-1}c^3} \div \sqrt[3]{a^4b^2c} = a^{\Box}b^{\Box}c^{\Box}$

(a2b−1c3)12(a4b2c)13=a2×12b−1×12c3×12a4×13b2×13c1×13=a1b−12c32a43b23c13=a1−43b−12−23c32−13=a3−43b−3−46c9−26=a−13b−76c76\frac{(a^2b^{-1}c^3)^{\frac{1}{2}}}{(a^4b^2c)^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{2 \times \frac{1}{2}}b^{-1 \times \frac{1}{2}}c^{3 \times \frac{1}{2}}}{a^{4 \times \frac{1}{3}}b^{2 \times \frac{1}{3}}c^{1 \times \frac{1}{3}}} = \frac{a^1b^{-\frac{1}{2}}c^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}}c^{\frac{1}{3}}} = a^{1-\frac{4}{3}}b^{-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}}c^{\frac{3}{2}-\frac{1}{3}} = a^{\frac{3-4}{3}}b^{\frac{-3-4}{6}}c^{\frac{9-2}{6}} = a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{7}{6}}c^{\frac{7}{6}}

5. $\frac{2}{5} \times 10^{-10} \times \frac{3}{4} \times 10^9 \div (\frac{3}{5} \times 10^6) = \frac{\Box}{\Box} \times 10^{\Box}$

25×34÷35×10−10×109÷106=25×34×53×10−10+9−6=12×10−7\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} \div \frac{3}{5} \times 10^{-10} \times 10^9 \div 10^6 = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{3} \times 10^{-10+9-6} = \frac{1}{2} \times 10^{-7}

6. $\log_{10}3 + \log_{10}\frac{1}{6} - \log_{10}\frac{1}{2} = \Box$

log⁡103+log⁡1016−log⁡1012=log⁡103+log⁡1016+log⁡102=log⁡10(3×16×2)=log⁡101=0\log_{10}3 + \log_{10}\frac{1}{6} - \log_{10}\frac{1}{2} = \log_{10}3 + \log_{10}\frac{1}{6} + \log_{10}2 = \log_{10}(3 \times \frac{1}{6} \times 2) = \log_{10}1 = 0

7. $\log_{5}0.00032 = \Box$

log⁡50.00032=log⁡532100000=log⁡525105=log⁡5(210)5=log⁡5(15)5=log⁡55−5=−5\log_{5}0.00032 = \log_{5}\frac{32}{100000} = \log_{5}\frac{2^5}{10^5} = \log_{5}(\frac{2}{10})^5 = \log_{5}(\frac{1}{5})^5 = \log_{5}5^{-5} = -5

8. $\log_{2}81 \times \log_{3}25 \times \log_{5}8 = \Box$

log⁡281×log⁡325×log⁡58=log⁡234×log⁡352×log⁡523=4log⁡23×2log⁡35×3log⁡52=4×2×3×log⁡23×log⁡35×log⁡52=24×log⁡3log⁡2×log⁡5log⁡3×log⁡2log⁡5=24\log_{2}81 \times \log_{3}25 \times \log_{5}8 = \log_{2}3^4 \times \log_{3}5^2 \times \log_{5}2^3 = 4\log_{2}3 \times 2\log_{3}5 \times 3\log_{5}2 = 4 \times 2 \times 3 \times \log_{2}3 \times \log_{3}5 \times \log_{5}2 = 24 \times \frac{\log 3}{\log 2} \times \frac{\log 5}{\log 3} \times \frac{\log 2}{\log 5} = 24

9. $\log_{10}2 = a$, $\log_{10}3 = b$ として、次の対数をaとbで表せ

* log⁡2180=□a+□b□a\log_{2}180 = \frac{\Box a + \Box b}{\Box a}
log⁡2180=log⁡10180log⁡102=log⁡10(22×32×5)log⁡102=log⁡1022+log⁡1032+log⁡105log⁡102=2log⁡102+2log⁡103+log⁡10102log⁡102=2a+2b+log⁡1010−log⁡102a=2a+2b+1−aa=a+2b+1a\log_{2}180 = \frac{\log_{10}180}{\log_{10}2} = \frac{\log_{10}(2^2 \times 3^2 \times 5)}{\log_{10}2} = \frac{\log_{10}2^2 + \log_{10}3^2 + \log_{10}5}{\log_{10}2} = \frac{2\log_{10}2 + 2\log_{10}3 + \log_{10}\frac{10}{2}}{\log_{10}2} = \frac{2a+2b+\log_{10}10 - \log_{10}2}{a} = \frac{2a+2b+1-a}{a} = \frac{a+2b+1}{a}
* log⁡57203=□a+□b□a+□b\log_{5}\sqrt[3]{720} = \frac{\Box a + \Box b}{\Box a + \Box b}
log⁡57203=13log⁡5720=13log⁡10720log⁡105=13log⁡10(24×32×5)log⁡10102=13log⁡1024+log⁡1032+log⁡105log⁡1010−log⁡102=134log⁡102+2log⁡103+log⁡1051−log⁡102=134a+2b+1−a1−a=133a+2b+11−a=3a+2b+13(1−a)\log_{5}\sqrt[3]{720} = \frac{1}{3}\log_{5}720 = \frac{1}{3} \frac{\log_{10}720}{\log_{10}5} = \frac{1}{3} \frac{\log_{10}(2^4 \times 3^2 \times 5)}{\log_{10}\frac{10}{2}} = \frac{1}{3} \frac{\log_{10}2^4 + \log_{10}3^2 + \log_{10}5}{\log_{10}10 - \log_{10}2} = \frac{1}{3} \frac{4\log_{10}2 + 2\log_{10}3 + \log_{10}5}{1 - \log_{10}2} = \frac{1}{3} \frac{4a+2b+1-a}{1-a} = \frac{1}{3} \frac{3a+2b+1}{1-a} = \frac{3a+2b+1}{3(1-a)}
##

3. 最終的な答え

1. $(\frac{1}{\sqrt[3]{a}})^{-3} = a^{1}$

2. $\sqrt{a} \times a^3 \div a^6 = a^{-\frac{5}{2}}$

3. $(\sqrt{2})^3 \times (2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} \div 2^{-\frac{3}{2}} = 8$ (問題文に誤りがある場合は、$2^{\frac{15}{4}}$)

4. $\sqrt{a^2b^{-1}c^3} \div \sqrt[3]{a^4b^2c} = a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{7}{6}}c^{\frac{7}{6}}$

5. $\frac{2}{5} \times 10^{-10} \times \frac{3}{4} \times 10^9 \div (\frac{3}{5} \times 10^6) = \frac{1}{2} \times 10^{-7}$

6. $\log_{10}3 + \log_{10}\frac{1}{6} - \log_{10}\frac{1}{2} = 0$

7. $\log_{5}0.00032 = -5$

8. $\log_{2}81 \times \log_{3}25 \times \log_{5}8 = 24$

9. $\log_{10}2 = a$, $\log_{10}3 = b$ として、次の対数をaとbで表せ

* log⁡2180=1+a+2ba\log_{2}180 = \frac{1 + a + 2b}{a}
* log⁡57203=1+3a+2b3−3a\log_{5}\sqrt[3]{720} = \frac{1 + 3a + 2b}{3 - 3a}

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