ベクトル空間 $V$ の基 $\\{u_1, u_2, u_3\\}$ が与えられたとき、以下のベクトル $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ が $V$ の基となるかどうかを調べます。 (a) $v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3$, $v_2 = u_1 + 2u_2 + u_3$, $v_3 = u_1 + u_2 + u_3$ (b) $v_1 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_2 = -u_1 + 3u_2 - u_3$, $v_3 = u_1 + u_3$

1. 問題の内容

ベクトル空間 $V$ の基 $\\{u_1, u_2, u_3\\}$ が与えられたとき、以下のベクトル $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ が $V$ の基となるかどうかを調べます。

(a) $v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3$, $v_2 = u_1 + 2u_2 + u_3$, $v_3 = u_1 + u_2 + u_3$

(b) $v_1 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_2 = -u_1 + 3u_2 - u_3$, $v_3 = u_1 + u_3$

2. 解き方の手順

ベクトル $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ が $V$ の基となるかどうかを判定するには、$\\{v_1, v_2, v_3\\}$ が線形独立かどうかを確認します。線形独立であるとは、あるスカラー $c_1, c_2, c_3$ に対して、

$c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 = 0$

となるのが $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ のときのみであるということです。

$v_i$ を $u_1, u_2, u_3$ の線形結合で表し、上記の式を $u_1, u_2, u_3$ の線形結合で表します。

$\\{u_1, u_2, u_3\\}$ は基であるため、線形独立です。したがって、$u_1, u_2, u_3$ の係数がすべてゼロでなければなりません。

これにより、$c_1, c_2, c_3$ に関する線形方程式系が得られます。この線形方程式系の解が $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ のみである場合、$\\{v_1, v_2, v_3\\}$ は線形独立であり、$V$ の基となります。それ以外の場合、$\\{v_1, v_2, v_3\\}$ は線形従属であり、$V$ の基にはなりません。

(a)の場合:

$c_1(2u_1 + u_2 - u_3) + c_2(u_1 + 2u_2 + u_3) + c_3(u_1 + u_2 + u_3) = 0$

$(2c_1 + c_2 + c_3)u_1 + (c_1 + 2c_2 + c_3)u_2 + (-c_1 + c_2 + c_3)u_3 = 0$

$\\{u_1, u_2, u_3\\}$ の線形独立性より、

$2c_1 + c_2 + c_3 = 0$

$c_1 + 2c_2 + c_3 = 0$

$-c_1 + c_2 + c_3 = 0$

この線形方程式系を行列形式で書くと、

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(2-1) - 1(1+1) + 1(1+2) = 2(1) - 1(2) + 1(3) = 2 - 2 + 3 = 3$

行列式がゼロでないため、線形方程式系の解は一意であり、$c_1 = c_2 = c_3 = 0$ です。したがって、$\\{v_1, v_2, v_3\\}$ は線形独立であり、$V$ の基となります。

(b)の場合:

$c_1(u_1 - u_2 + u_3) + c_2(-u_1 + 3u_2 - u_3) + c_3(u_1 + u_3) = 0$

$(c_1 - c_2 + c_3)u_1 + (-c_1 + 3c_2)u_2 + (c_1 - c_2 + c_3)u_3 = 0$

$\\{u_1, u_2, u_3\\}$ の線形独立性より、

$c_1 - c_2 + c_3 = 0$

$-c_1 + 3c_2 = 0$

$c_1 - c_2 + c_3 = 0$

この線形方程式系を行列形式で書くと、

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(3-0) - (-1)(-1-0) + 1(1-3) = 3 - 1 - 2 = 0$

行列式がゼロであるため、この線形方程式系には非自明な解が存在します。したがって、$\\{v_1, v_2, v_3\\}$ は線形従属であり、$V$ の基にはなりません。

例えば、$c_2 = 1$とすると、$c_1=3$です。$3-1+c_3=0$なので、$c_3 = -2$です。よって，$3v_1+v_2-2v_3 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

(a) $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ は $V$ の基となる。

(b) $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ は $V$ の基とならない。