与えられた写像が線形写像であるかどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

与えられた写像が線形写像であるかどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

線形写像であるための条件は次の2つです。

* $T(u+v) = T(u) + T(v)$ (加法性)

* $T(cu) = cT(u)$ (斉次性)

これらの条件を満たすかどうかを各写像について調べます。

(a) $T(x) = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ x_1 - 5x_2 \end{bmatrix}$

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$, $y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$とすると、

$T(x+y) = \begin{bmatrix} 2(x_1+y_1) + (x_2+y_2) \\ (x_1+y_1) - 5(x_2+y_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 + 2y_1 + y_2 \\ x_1 - 5x_2 + y_1 - 5y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ x_1 - 5x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2y_1 + y_2 \\ y_1 - 5y_2 \end{bmatrix} = T(x) + T(y)$

$T(cx) = \begin{bmatrix} 2(cx_1) + (cx_2) \\ (cx_1) - 5(cx_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(2x_1 + x_2) \\ c(x_1 - 5x_2) \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ x_1 - 5x_2 \end{bmatrix} = cT(x)$

したがって、線形写像です。

(b) $T(x) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + 2 \\ 2x_1 + 3x_2 - 1 \end{bmatrix}$

$T(0) = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ であるため、線形写像ではありません。線形写像は必ず原点を原点に移す必要があります。

もしくは、加法性を確認します。

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$, $y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$とすると、

$T(x+y) = \begin{bmatrix} (x_1+y_1) + (x_2+y_2) + 2 \\ 2(x_1+y_1) + 3(x_2+y_2) - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + y_1 + y_2 + 2 \\ 2x_1 + 3x_2 + 2y_1 + 3y_2 - 1 \end{bmatrix}$

$T(x) + T(y) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + 2 \\ 2x_1 + 3x_2 - 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y_1 + y_2 + 2 \\ 2y_1 + 3y_2 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + y_1 + y_2 + 4 \\ 2x_1 + 3x_2 + 2y_1 + 3y_2 - 2 \end{bmatrix}$

$T(x+y) \neq T(x) + T(y)$なので、線形写像ではありません。

(c) $T(x) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix}$

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$, $y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}$とすると、

$T(x+y) = \begin{bmatrix} (x_1+y_1) + (x_2+y_2) \\ (x_2+y_2) - (x_3+y_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + y_1 + y_2 \\ x_2 - x_3 + y_2 - y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y_1 + y_2 \\ y_2 - y_3 \end{bmatrix} = T(x) + T(y)$

$T(cx) = \begin{bmatrix} c(x_1) + c(x_2) \\ c(x_2) - c(x_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(x_1 + x_2) \\ c(x_2 - x_3) \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix} = cT(x)$

したがって、線形写像です。

(d) $T(x) = \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix}$

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$, $y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}$とすると、

$T(x+y) = \begin{bmatrix} 3(x_1+y_1) - (x_2+y_2) + 2(x_3+y_3) \\ (x_1+y_1) + 3(x_2+y_2) - (x_3+y_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 + 3y_1 - y_2 + 2y_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 + y_1 + 3y_2 - y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3y_1 - y_2 + 2y_3 \\ y_1 + 3y_2 - y_3 \end{bmatrix} = T(x) + T(y)$

$T(cx) = \begin{bmatrix} 3(cx_1) - (cx_2) + 2(cx_3) \\ (cx_1) + 3(cx_2) - (cx_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(3x_1 - x_2 + 2x_3) \\ c(x_1 + 3x_2 - x_3) \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix} = cT(x)$

したがって、線形写像です。

3. 最終的な答え

(a) 線形写像である。

(b) 線形写像ではない。

(c) 線形写像である。

(d) 線形写像である。