行列 $A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 10 & 3 \end{bmatrix}$ を、複数の基本行列の積で表す。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 10 & 3 \end{bmatrix}$ を、複数の基本行列の積で表す。

2. 解き方の手順

行列 $A$ を基本変形（行基本変形）を用いて単位行列 $I$ に変形する過程を考える。各基本変形は、ある基本行列を左から掛けることに対応する。

$E_n \cdots E_1 A = I$ となる基本行列 $E_1, \dots, E_n$ を求めれば、$A = E_1^{-1} \cdots E_n^{-1}$ となる。

$E_i^{-1}$ も基本行列であるから、$A$ が基本行列の積で表される。

まず、行列 $A$ の1行目を $1/4$ 倍すると、

$\begin{bmatrix} 1 & 1/4 \\ 10 & 3 \end{bmatrix}$ となる。

この操作は、基本行列 $E_1 = \begin{bmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ を左から掛けることに対応する。

次に、2行目から1行目の10倍を引くと、

$\begin{bmatrix} 1 & 1/4 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}$ となる。

この操作は、基本行列 $E_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -10 & 1 \end{bmatrix}$ を左から掛けることに対応する。

次に、2行目を2倍すると、

$\begin{bmatrix} 1 & 1/4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ となる。

この操作は、基本行列 $E_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ を左から掛けることに対応する。

最後に、1行目から2行目の $1/4$ 倍を引くと、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ となる。

この操作は、基本行列 $E_4 = \begin{bmatrix} 1 & -1/4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ を左から掛けることに対応する。

したがって、$E_4 E_3 E_2 E_1 A = I$ より、

$A = E_1^{-1} E_2^{-1} E_3^{-1} E_4^{-1}$ である。

$E_1^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$E_2^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 10 & 1 \end{bmatrix}$

$E_3^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}$

$E_4^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1/4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

よって、$A = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 10 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1/4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ となる。

3. 最終的な答え

$A = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 10 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1/4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$