$n$ 次正方行列 $A$ が以下の2つの条件を満たすとき、$A$ の行列式が 0 でないことを証明する問題です。 (1) $A$ の各行には、0 以外の成分がちょうど1つ存在する。 (2) $A$ の各列には、0 以外の成分がちょうど1つ存在する。

1. 問題の内容

$n$ 次正方行列 $A$ が以下の2つの条件を満たすとき、$A$ の行列式が 0 でないことを証明する問題です。

(1) $A$ の各行には、0 以外の成分がちょうど1つ存在する。

(2) $A$ の各列には、0 以外の成分がちょうど1つ存在する。

2. 解き方の手順

$A$ の行列式が 0 でないことを示すために、行列式が 0 であると仮定して矛盾を導きます。

$A$ の行列式が 0 であると仮定します。これは、$A$ が正則でないことを意味します。

$A$ が正則でないならば、$A$ の列ベクトルは線形従属です。したがって、ゼロでないベクトル $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ が存在して、$Ax = 0$ が成り立ちます。

$Ax=0$ を成分で書くと、

$\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j = 0 \quad (i=1,2,\dots,n)$

となります。ここで、$a_{ij}$ は行列 $A$ の $(i, j)$ 成分です。

条件(1)から、各行には0でない成分がちょうど1つ存在します。それを$a_{i,k_i}$と書くことにします。($k_i$は$i$に依存した列の番号)。

条件(2)から、各列には0でない成分がちょうど1つ存在します。

$A$の各行で$a_{i,k_i}x_{k_i} = 0$となるので、$x_{k_i}=0$でなければ$a_{i,k_i}=0$です。しかし、$a_{i,k_i}\neq 0$なので、$x_{k_i}=0$が成り立ちます。

ここで、集合$\{k_1, k_2, \dots, k_n\}$を考えます。条件(2)から各列には0でない成分がちょうど1つ存在するので、この集合の要素はすべて異なります。つまり、$k_1, k_2, \dots, k_n$は$1$から$n$までの数を並び替えたものになっています。

したがって、全ての$i$に対して$x_{k_i}=0$ならば、$x_1 = x_2 = \dots = x_n = 0$となります。これは、$x$がゼロベクトルであるという仮定に矛盾します。

したがって、$Ax = 0$を満たすゼロでないベクトル $x$ が存在するという仮定が間違っていたことになります。つまり、$A$ は正則であり、$A$ の行列式は 0 ではありません。

3. 最終的な答え

$A$ の行列式は 0 でない。