(1) 放物線 $y = x^2 + 6x + 11$ の頂点を求める。 (2) 放物線 $y = x^2 + 6x + 11$ を平行移動して放物線 $G: y = (x + 2)^2 + 5$ に重ねるには、どのように平行移動すればよいかを求める。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = x^2 + 6x + 11$ の頂点を求める。

(2) 放物線 $y = x^2 + 6x + 11$ を平行移動して放物線 $G: y = (x + 2)^2 + 5$ に重ねるには、どのように平行移動すればよいかを求める。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y = x^2 + 6x + 11$ を平方完成する。

$y = x^2 + 6x + 11 = (x^2 + 6x) + 11 = (x^2 + 6x + 9 - 9) + 11 = (x + 3)^2 - 9 + 11 = (x + 3)^2 + 2$

したがって、頂点は $(-3, 2)$ となる。

(2)

放物線 $y = x^2 + 6x + 11$ の頂点は $(-3, 2)$ である。

放物線 $G: y = (x + 2)^2 + 5$ の頂点は $(-2, 5)$ である。

放物線 $y = x^2 + 6x + 11$ を平行移動して放物線 $G$ に重ねるには、頂点を $(-3, 2)$ から $(-2, 5)$ に移動させる必要がある。

$x$ 軸方向に $-2 - (-3) = -2 + 3 = 1$ だけ平行移動する。

$y$ 軸方向に $5 - 2 = 3$ だけ平行移動する。

したがって、放物線 $y = x^2 + 6x + 11$ を $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すればよい。

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(-3, 2)$

(2) $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動する。